Considere a equação de Schroedinger e a sua solução
.
a) Mostre que essa equação é linear (i.e. que a combinação linear das soluções também é uma solução).
b) Sob qual condição a equação de Schroedinger pode ser reduzida à equação de Schroedinger independente do tempo? Escreva a última, bem como a forma da função de onda
nesse caso.
a) Mostre que essa equação é linear (i.e. que a combinação linear das soluções também é uma solução).
b) Sob qual condição a equação de Schroedinger pode ser reduzida à equação de Schroedinger independente do tempo? Escreva a última, bem como a forma da função de onda
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que a equação de Schrödinger é linear, isto é, que uma combinação linear de soluções também é solução; (b) indicar sob que condição a equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser reduzida à equação independente do tempo, escrever essa equação independente do tempo e dar a forma da função de onda
nesse caso.
A equação de Schrödinger dependente do tempo que vamos usar (no eixo ) é
A equação de Schrödinger dependente do tempo que vamos usar (no eixo
onde tomamos o operador Hamiltoniano
As perguntas são: provar linearidade (parte a) e dizer a condição sobre
e obter a equação independente do tempo e a forma de
(parte b). Nada mais será assumido.
Passo 2
Primeiro vamos entender o que significa “linear” na prática. Um operador linear
satisfaz, para quaisquer funções
e
e quaisquer números complexos
e
,
No nosso caso a “equação” pode ser escrita como um operador atuando em
sendo igual a zero. Definimos o operador linear (no sentido que será verificado)
Se
for linear, então
. Vamos mostrar isso explicitamente.
Passo 3
Mostrando linearidade detalhadamente. Seja
e
soluções da equação de Schrödinger, isto é,
Considere uma combinação linear
, com
. Calculemos
:
Usamos que derivada temporal é linear e que
(soma de derivadas lineares e multiplicação por
) é linear, então
Como
, segue
. Portanto
satisfaz a equação de Schrödinger: a equação é linear. (Comentário rápido: permitimos
complexos porque o operador envolve multiplicação e derivação, que respeitam multiplicação por escalares complexos.)
Passo 4
Agora a parte (b): condição para separar tempo e espaço. Queremos reduzir a equação dependente do tempo para uma forma independente do tempo. Isso só pode ser feito se o potencial não depender do tempo, isto é, sob a condição
Sob essa condição podemos procurar soluções separáveis do tipo
onde
depende só de
e
só de
. A ideia é inserir essa forma na equação de Schrödinger e separar variáveis.
Passo 5
Inserindo
na equação
obtemos (note que
não depende de
e
não depende de
)
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
nos pontos de interesse) resulta
O lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito apenas de
; a única forma de uma igualdade assim ser verdadeira para todo
e
é que ambos os lados sejam iguais a uma constante que chamaremos de
(chamada de constante de separação, e que terá interpretação física de energia). Assim obtemos duas equações separadas:
e
Passo 6
A equação
é precisamente a equação de Schrödinger independente do tempo (equação de autovalores do Hamiltoniano). Escrevendo
explicitamente para uma partícula unidimensional:
logo a equação independente do tempo é
A equação temporal é uma equação diferencial ordinária simples:
cuja solução (integrando e usando constante multiplicativa
) é
Escolhemos normalmente
e absorvemos qualquer fase ou norma em
. Portanto, uma solução separável (um estado estacionário) tem a forma
com
satisfazendo a equação independente do tempo acima.
Passo 7
Observações úteis para a prova e aplicação prática:
- Os valores
que permitem soluções fisicamente aceitáveis (normalizáveis ou de contorno apropriado) são os autovalores do operador e são chamados energias próprias. - Pela linearidade (parte a), a solução geral é uma combinação linear (soma ou integral) de estados estacionários:
ou, para espectro contínuo, uma integral. Os coeficientes
são determinados pela condição inicial
. Isso é importante na prova: mesmo que cada
seja “estacionário” (probabilidade independente do tempo), superposições geralmente produzem dependência temporal observável.
- Exemplo rápido e concreto (para fixar): se
(partícula livre), a equação independente do tempo dá com ; soluções planeares têm e a solução temporal é , resultando em ondas com .
Resposta
a) A equação de Schrödinger é linear: se
e
satisfazem
, então
(com
) também satisfaz, porque tanto a derivada temporal quanto o operador
são lineares.
b) Condição: (potencial independente do tempo). A equação independente do tempo é
b) Condição:
A forma da função de onda separável é
e a solução geral é
(ou integral no caso contínuo).