Considere a equação de Schroedinger e a sua solução \Psi(x, t).
a) Mostre que essa equação é linear (i.e. que a combinação linear das soluções também é uma solução).
b) Sob qual condição a equação de Schroedinger pode ser reduzida à equação de Schroedinger independente do tempo? Escreva a última, bem como a forma da função de onda \Psi(x, t) nesse caso.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que a equação de Schrödinger é linear, isto é, que uma combinação linear de soluções também é solução; (b) indicar sob que condição a equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser reduzida à equação independente do tempo, escrever essa equação independente do tempo e dar a forma da função de onda \Psi(x,t) nesse caso.
A equação de Schrödinger dependente do tempo que vamos usar (no eixo x) é
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\hat H\Psi(x,t),
onde tomamos o operador Hamiltoniano
\hat H=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x,t).
As perguntas são: provar linearidade (parte a) e dizer a condição sobre V e obter a equação independente do tempo e a forma de \Psi(x,t) (parte b). Nada mais será assumido.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa “linear” na prática. Um operador linear L satisfaz, para quaisquer funções f e g e quaisquer números complexos a e b,
L\big(a f + b g\big)=a\,L(f)+b\,L(g).
No nosso caso a “equação” pode ser escrita como um operador atuando em \Psi sendo igual a zero. Definimos o operador linear (no sentido que será verificado)
\mathcal{L}(\Psi) \equiv i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}-\hat H\Psi.
Se \mathcal{L} for linear, então \mathcal{L}(a\Psi_{1}+b\Psi_{2})=a\,\mathcal{L}(\Psi_{1})+b\,\mathcal{L}(\Psi_{2}). Vamos mostrar isso explicitamente.

Passo 3

Mostrando linearidade detalhadamente. Seja \Psi_{1}(x,t) e \Psi_{2}(x,t) soluções da equação de Schrödinger, isto é,
\mathcal{L}(\Psi_{1})=0,\qquad \mathcal{L}(\Psi_{2})=0.
Considere uma combinação linear \Phi(x,t)=a\,\Psi_{1}(x,t)+b\,\Psi_{2}(x,t), com a,b\in\mathbb{C}. Calculemos \mathcal{L}(\Phi):
\mathcal{L}(\Phi)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\big(a\Psi_{1}+b\Psi_{2}\big)-\hat H\big(a\Psi_{1}+b\Psi_{2}\big).
Usamos que derivada temporal é linear e que \hat H (soma de derivadas lineares e multiplicação por V) é linear, então
\mathcal{L}(\Phi)=a\Big(i\hbar\frac{\partial \Psi_{1}}{\partial t}-\hat H\Psi_{1}\Big)+b\Big(i\hbar\frac{\partial \Psi_{2}}{\partial t}-\hat H\Psi_{2}\Big) = a\,\mathcal{L}(\Psi_{1})+b\,\mathcal{L}(\Psi_{2}).
Como \mathcal{L}(\Psi_{1})=\mathcal{L}(\Psi_{2})=0, segue \mathcal{L}(\Phi)=0. Portanto \Phi satisfaz a equação de Schrödinger: a equação é linear. (Comentário rápido: permitimos a,b complexos porque o operador envolve multiplicação e derivação, que respeitam multiplicação por escalares complexos.)

Passo 4

Agora a parte (b): condição para separar tempo e espaço. Queremos reduzir a equação dependente do tempo para uma forma independente do tempo. Isso só pode ser feito se o potencial não depender do tempo, isto é, sob a condição
V(x,t)=V(x)\quad\text{(potencial independente do tempo).}
Sob essa condição podemos procurar soluções separáveis do tipo
\Psi(x,t)=\psi(x)\,T(t),
onde \psi(x) depende só de x e T(t) só de t. A ideia é inserir essa forma na equação de Schrödinger e separar variáveis.

Passo 5

Inserindo \Psi(x,t)=\psi(x)T(t) na equação
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\big(\psi(x)T(t)\big)=\hat H\big(\psi(x)T(t)\big),
obtemos (note que \psi não depende de t e T não depende de x)
i\hbar \psi(x)\frac{dT(t)}{dt} = T(t)\,\hat H\psi(x).
Dividindo ambos os lados por \psi(x)T(t) (assumindo \psi T\neq 0 nos pontos de interesse) resulta
\frac{i\hbar}{T(t)}\frac{dT(t)}{dt} = \frac{1}{\psi(x)}\hat H\psi(x).
O lado esquerdo depende apenas de t e o lado direito apenas de x; a única forma de uma igualdade assim ser verdadeira para todo x e t é que ambos os lados sejam iguais a uma constante que chamaremos de E (chamada de constante de separação, e que terá interpretação física de energia). Assim obtemos duas equações separadas:
\frac{i\hbar}{T}\frac{dT}{dt}=E
e
\hat H\psi(x)=E\psi(x).

Passo 6

A equação
\hat H\psi(x)=E\psi(x)
é precisamente a equação de Schrödinger independente do tempo (equação de autovalores do Hamiltoniano). Escrevendo \hat H explicitamente para uma partícula unidimensional:
\hat H=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V(x),
logo a equação independente do tempo é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
A equação temporal é uma equação diferencial ordinária simples:
\frac{dT}{dt}=-\frac{iE}{\hbar}T,
cuja solução (integrando e usando constante multiplicativa C) é
T(t)=C\,e^{-iEt/\hbar}.
Escolhemos normalmente C=1 e absorvemos qualquer fase ou norma em \psi. Portanto, uma solução separável (um estado estacionário) tem a forma
\Psi(x,t)=\psi(x)\,e^{-iEt/\hbar},
com \psi satisfazendo a equação independente do tempo acima.

Passo 7

Observações úteis para a prova e aplicação prática:
  • Os valores E que permitem soluções \psi fisicamente aceitáveis (normalizáveis ou de contorno apropriado) são os autovalores do operador \hat H e são chamados energias próprias.
  • Pela linearidade (parte a), a solução geral é uma combinação linear (soma ou integral) de estados estacionários:
\Psi(x,t)=\sum_{n} c_{n}\,\psi_{n}(x)\,e^{-iE_{n}t/\hbar},
ou, para espectro contínuo, uma integral. Os coeficientes c_{n} são determinados pela condição inicial \Psi(x,0). Isso é importante na prova: mesmo que cada \psi_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar} seja “estacionário” (probabilidade independente do tempo), superposições geralmente produzem dependência temporal observável.
  • Exemplo rápido e concreto (para fixar): se V(x)=0 (partícula livre), a equação independente do tempo dá \psi''(x) + k^{2}\psi(x)=0 com k^{2}=2mE/\hbar^{2}; soluções planeares \psi(x)=Ae^{ikx} têm E=\hbar^{2}k^{2}/(2m) e a solução temporal é e^{-iEt/\hbar}, resultando em ondas \Psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)} com \omega=E/\hbar.

Resposta

a) A equação de Schrödinger é linear: se \Psi_{1} e \Psi_{2} satisfazem i\hbar\partial_{t}\Psi=\hat H\Psi, então a\Psi_{1}+b\Psi_{2} (com a,b\in\mathbb{C}) também satisfaz, porque tanto a derivada temporal quanto o operador \hat H são lineares.
b) Condição: V(x,t)=V(x) (potencial independente do tempo). A equação independente do tempo é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
A forma da função de onda separável é
\Psi(x,t)=\psi(x)\,e^{-iEt/\hbar},
e a solução geral é \Psi(x,t)=\sum_{n}c_{n}\psi_{n}(x)e^{-iE_{n}t/\hbar} (ou integral no caso contínuo).

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