Uma partícula livre de massa
e número de onda
está viajando no sentido positivo do eixo
. No ponto
, o potencial muda bruscamente de 0 para
e permanece com este valor para todos os valores positivos de
.
a) Se a energia inicial da partícula é
, qual é o número de onda
na região
? Expresse a resposta em função de
.
b) Calcule o coeficiente de reflexão
no degrau de potencial. Qual é o valor do coeficiente de transmissão
?
c) A cada milhão de partículas com número de onda
que incidem no degrau de potencial, quantas partículas, em média, continuam a viajar no sentido positivo do eixo dos
? Como este valor se compara com a previsão clássica?
a) Se a energia inicial da partícula é
b) Calcule o coeficiente de reflexão
c) A cada milhão de partículas com número de onda
Passo 1
O enunciado dá um feixe de partículas (onda) que incide da esquerda sobre um degrau de potencial em
. Informações e perguntas claras do problema:
- Potencial: para
temos ; para temos (ou seja, um degrau para baixo). - A partícula tem massa
e número de onda incidente . A energia é dada por .
Perguntas:
a) Qual é o número de ondana região , expresso em função de ?\n
b) Calcule o coeficiente de reflexãono degrau e o coeficiente de transmissão .\n
c) Se chegam um milhão de partículas com, quantas em média continuam para ? Como isso se compara com a previsão clássica?
Passo 2
Entender a relação energia–número de onda: para uma partícula livre (ou região constante de potencial) a energia total relaciona-se com o número de onda por
onde
é a constante de Planck reduzida,
a massa e
o número de onda. Se existe um potencial
constante na região, a energia cinética é
e o número de onda naquela região é
Aqui, na região
temos
, logo a energia cinética efetiva é
.
Passo 3
Use o valor dado de
para simplificar. O enunciado diz
. Então
Mas também
. Podemos relacionar
com
:
. Assim
Substituindo na fórmula de
para
:
Portanto obtemos a resposta para (a):
Passo 4
Agora montamos as funções de onda nas duas regiões (solução padrão para espalhamento unidimensional):
- Para
(incidente vindo da esquerda) a solução é combinação de onda incidente e refletida:
onde coloquei amplitude incidente igual a
(escolha de normalização) e
é a amplitude de reflexão complexa.
- Para
(transmitida) há apenas onda viajando para a direita:
onde
é a amplitude de transmissão.
Explicação física: não colocamos onda viajando para a esquerda em
porque assumimos que não há fontes à direita, apenas a onda transmitida saindo para
.
Passo 5
Imponha as condições de contorno em
: continuidade da função de onda e da sua derivada (derivada espacial) porque potencial é finito e descontínuo mas a equação de Schrödinger exige essas continuidades.
Continuidade da onda em :
Continuidade da onda em
Continuidade da derivada em
:
Podemos eliminar
. Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Agora resolvemos para
:
E
dá
Passo 6
Agora construímos os coeficientes físicos de probabilidade. O coeficiente de reflexão
é a razão entre a corrente refletida e a corrente incidente, mas para ondas planas isso reduz a
:
O coeficiente de transmissão
é a razão entre as correntes transmitida e incidente; como a corrente para uma onda
é proporcional a
, obtemos um fator
extra:
(Verificação útil:
para conservação de probabilidade.)
Substitua
para obter valores explícitos:
Para :
Para
Para
:
Cálculo numérico aproximado:
, então
Passo 7
Responda à pergunta (c): se chegam
partículas, o número médio que transmitem é
vezes
:
Comparação com a previsão clássica: classicamente, para uma queda de potencial (energia cinética aumenta ao entrar na região de menor potencial), nenhuma partícula é refletida — todas atravessariam, ou seja
de
. No caso quântico há uma pequena reflexão (cerca de
de chance de reflexão), portanto menos partículas seguem para
do que a previsão clássica. Essa reflexão quântica no degrau para baixo é um efeito puramente de interferência/quântica.
Resposta
a)
\n
b) \n
\n
c) Em média partículas transmitem. Classicamente seriam
; a previsão quântica dá menos partículas devido à reflexão quântica.
b)
c) Em média