Uma partícula livre de massa m e número de onda k_{1} está viajando no sentido positivo do eixo x. No ponto x=0, o potencial muda bruscamente de 0 para -V_{0} e permanece com este valor para todos os valores positivos de x.
a) Se a energia inicial da partícula é \hbar^{2} k_{1}^{2} / 2 m=V_{0} / 2, qual é o número de onda k_{2} na região x>0 ? Expresse a resposta em função de k_{1}.
b) Calcule o coeficiente de reflexão R no degrau de potencial. Qual é o valor do coeficiente de transmissão T ?
c) A cada milhão de partículas com número de onda k_{1} que incidem no degrau de potencial, quantas partículas, em média, continuam a viajar no sentido positivo do eixo dos x ? Como este valor se compara com a previsão clássica?

Passo 1

O enunciado dá um feixe de partículas (onda) que incide da esquerda sobre um degrau de potencial em x=0. Informações e perguntas claras do problema:
  • Potencial: para x<0 temos V(x)=0; para x>0 temos V(x)=-V_{0} (ou seja, um degrau para baixo).
  • A partícula tem massa m e número de onda incidente \,k_{1}\,. A energia é dada por \,E=\hbar^{2}k_{1}^{2}/(2m)=V_{0}/2.
    Perguntas:
    a) Qual é o número de onda \,k_{2}\, na região x>0, expresso em função de \,k_{1}?\n
    b) Calcule o coeficiente de reflexão R no degrau e o coeficiente de transmissão T.\n
    c) Se chegam um milhão de partículas com k_{1}, quantas em média continuam para x>0? Como isso se compara com a previsão clássica?

Passo 2

Entender a relação energia–número de onda: para uma partícula livre (ou região constante de potencial) a energia total relaciona-se com o número de onda por
E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m},
onde \hbar é a constante de Planck reduzida, m a massa e k o número de onda. Se existe um potencial V constante na região, a energia cinética é E-V e o número de onda naquela região é
k=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^{2}}}.
Aqui, na região x>0 temos V=-V_{0}, logo a energia cinética efetiva é E-(-V_{0})=E+V_{0}.

Passo 3

Use o valor dado de E para simplificar. O enunciado diz \,E=V_{0}/2. Então
E+V_{0}=\frac{V_{0}}{2}+V_{0}=\frac{3V_{0}}{2}.
Mas também E=\dfrac{\hbar^{2}k_{1}^{2}}{2m}. Podemos relacionar V_{0} com E: V_{0}=2E. Assim
E+V_{0}=E+2E=3E.
Substituindo na fórmula de k para x>0:
k_{2}=\sqrt{\frac{2m(E+V_{0})}{\hbar^{2}}}=\sqrt{\frac{2m(3E)}{\hbar^{2}}}=\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}=\sqrt{3}\,k_{1}.
Portanto obtemos a resposta para (a):
k_{2}=\sqrt{3}\,k_{1}.

Passo 4

Agora montamos as funções de onda nas duas regiões (solução padrão para espalhamento unidimensional):
  • Para x<0 (incidente vindo da esquerda) a solução é combinação de onda incidente e refletida:
\psi_{<}(x)=e^{ik_{1}x}+r\,e^{-ik_{1}x},
onde coloquei amplitude incidente igual a 1 (escolha de normalização) e r é a amplitude de reflexão complexa.
  • Para x>0 (transmitida) há apenas onda viajando para a direita:
\psi_{>}(x)=t\,e^{ik_{2}x},
onde t é a amplitude de transmissão.
Explicação física: não colocamos onda viajando para a esquerda em x>0 porque assumimos que não há fontes à direita, apenas a onda transmitida saindo para +\infty.

Passo 5

Imponha as condições de contorno em x=0: continuidade da função de onda e da sua derivada (derivada espacial) porque potencial é finito e descontínuo mas a equação de Schrödinger exige essas continuidades.
Continuidade da onda em x=0:
\psi_{<}(0)=\psi_{>}(0)\quad\Rightarrow\quad 1+r=t.
Continuidade da derivada em x=0:
\psi_{<}'(0)=\psi_{>}'(0)\quad\Rightarrow\quad ik_{1}(1-r)=ik_{2}t.
Podemos eliminar t. Da primeira equação t=1+r. Substituindo na segunda:
k_{1}(1-r)=k_{2}(1+r).
Agora resolvemos para r:
k_{1}-k_{1}r=k_{2}+k_{2}r \quad\Rightarrow\quad -k_{1}r - k_{2}r = k_{2}-k_{1}
r\,( -k_{1}-k_{2}) = k_{2}-k_{1} \quad\Rightarrow\quad r=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}.
E t=1+r
t=\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}.

Passo 6

Agora construímos os coeficientes físicos de probabilidade. O coeficiente de reflexão R é a razão entre a corrente refletida e a corrente incidente, mas para ondas planas isso reduz a |r|^{2}:
R=|r|^{2}=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2}.
O coeficiente de transmissão T é a razão entre as correntes transmitida e incidente; como a corrente para uma onda A e^{ikx} é proporcional a \dfrac{\hbar k}{m}|A|^{2}, obtemos um fator k_{2}/k_{1} extra:
T=\frac{k_{2}}{k_{1}}\,|t|^{2}=\frac{k_{2}}{k_{1}}\left(\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2} =\frac{4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.
(Verificação útil: R+T=1 para conservação de probabilidade.)
Substitua k_{2}=\sqrt{3}\,k_{1} para obter valores explícitos:
Para R:
R=\left(\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\right)^{2} =\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{(1+\sqrt{3})^{2}} =\frac{4-2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}.
Para T:
T=\frac{4\cdot k_{1}\cdot (\sqrt{3}k_{1})}{(k_{1}+\sqrt{3}k_{1})^{2}} =\frac{4\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})^{2}}.
Cálculo numérico aproximado: \sqrt{3}\approx 1,732, então
R\approx 0,0718\quad(\text{aprox. }7{,}18\%),\qquad T\approx 0,9282\quad(\text{aprox. }92{,}82\%).

Passo 7

Responda à pergunta (c): se chegam 10^{6} partículas, o número médio que transmitem é T vezes 10^{6}:
N_{\text{transm}}=T\cdot 10^{6}\approx 0{,}9282\times 10^{6}\approx 928\,200.
Comparação com a previsão clássica: classicamente, para uma queda de potencial (energia cinética aumenta ao entrar na região de menor potencial), nenhuma partícula é refletida — todas atravessariam, ou seja 1{,}000{,}000 de 10^{6}. No caso quântico há uma pequena reflexão (cerca de 7{,}18\% de chance de reflexão), portanto menos partículas seguem para +\infty do que a previsão clássica. Essa reflexão quântica no degrau para baixo é um efeito puramente de interferência/quântica.

Resposta

a) k_{2}=\sqrt{3}\,k_{1}.\n
b) R=\left(\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2}=\left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\right)^{2}\approx 0{,}0718.\n
T=\dfrac{4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})^{2}}\approx 0{,}9282.\n
c) Em média T\times 10^{6}\approx 928\,200 partículas transmitem. Classicamente seriam 1{,}000{,}000; a previsão quântica dá menos partículas devido à reflexão quântica.

Exercícios relacionados