(Força magnética sobre partícula) Uma partícula com carga q=-1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} se move com velocidade \vec{v} de módulo 3.0 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} em uma região onde há um campo magnético uniforme \vec{B} de módulo 0.20 T . O ângulo entre \vec{v} e \vec{B} é de 30^{\circ}.
(a) Calcule o módulo da força magnética que age sobre a partícula.
(b) Indique, qualitativamente, a direção da força em relação a \vec{v} e \vec{B}.
(c) Discuta o que ocorre com a trajetória da partícula se o campo elétrico for nulo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e as perguntas feitas.
  • Dados fornecidos:
    • carga da partícula: q=-1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • módulo da velocidade: v=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
    • módulo do campo magnético: B=0{,}20\\ \mathrm{T}.
    • ângulo entre \vec{v} e \vec{B}: \theta=30^\circ.
    • campo elétrico é nulo (para a parte (c) é dito que o campo elétrico é nulo).
  • Perguntas:
    (a) Calcular o módulo da força magnética que age sobre a partícula.
    (b) Indicar qualitativamente a direção da força em relação a \vec{v} e \vec{B}.
    (c) Discutir o que ocorre com a trajetória da partícula se o campo elétrico for nulo.

Passo 2

Apresentar a fórmula física que vamos usar e explicar cada termo de forma didática.
  • A força magnética sobre uma carga q que se move com velocidade \vec{v} em um campo magnético \vec{B} é dada pelo produto vetorial
\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Explicando cada símbolo:
  • q é a carga elétrica (em coulombs, \mathrm{C}). Pode ser positiva ou negativa.
  • \vec{v} é o vetor velocidade (módulo v em \mathrm{m/s}).
  • \vec{B} é o vetor campo magnético (módulo B em tesla, \mathrm{T}).
  • \vec{v}\times\vec{B} é o produto vetorial que gera um vetor perpendicular a \vec{v} e \vec{B}.
  • O módulo da força magnética é
F=|q|\,v\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}. Note que usei |q| porque aqui queremos o módulo (número positivo); o sinal de q influencia apenas a direção (sentido) da força.

Passo 3

Calcular os componentes da velocidade relevantes e usar valores numéricos passo a passo.
  • Primeiro, o seno do ângulo é simples: \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}.
  • Podemos também separar a velocidade em componente perpendicular e paralela ao campo, pois isso ajuda a interpretar a trajetória:
    • componente perpendicular ao campo:
    v_\perp = v\sin\theta = v\sin30^\circ = v\cdot\tfrac{1}{2}.
    Substituindo v=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{m/s},
    v_\perp = 3{,}0\times10^{6}\cdot\tfrac{1}{2}=1{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
    • componente paralela ao campo:
    v_\parallel = v\cos\theta = v\cos30^\circ = v\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
    Numericamente,
    v_\parallel = 3{,}0\times10^{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 2{,}60\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular o módulo da força magnética usando a fórmula e mostrar todas as contas.
  • Usando F=|q|vB\sin\theta e os dados: F = (1{,}6\times10^{-19})\cdot(3{,}0\times10^{6})\cdot(0{,}20)\cdot\sin30^\circ.Substituindo \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}: F = 1{,}6\times10^{-19}\cdot3{,}0\times10^{6}\cdot0{,}20\cdot\tfrac{1}{2}.
  • Fazer as multiplicações em etapas: 1{,}6\times3{,}0 = 4{,}8,e os fatores de potência: 10^{-19}\times10^{6}=10^{-13}.Então 1{,}6\times10^{-19}\cdot3{,}0\times10^{6}=4{,}8\times10^{-13}.Multiplicando por 0{,}20: 4{,}8\times10^{-13}\cdot0{,}20 = 0{,}96\times10^{-13}=9{,}6\times10^{-14}.Multiplicando por \tfrac{1}{2}: F = 9{,}6\times10^{-14}\cdot\tfrac{1}{2}=4{,}8\times10^{-14}\\ \mathrm{N}.
  • Portanto o módulo da força magnética é
F=4{,}8\times10^{-14}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Explicar qualitativamente a direção da força (resposta à parte (b)) de modo didático.
  • Teoria rápida: o produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} resulta em um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{v} e \vec{B}. O sentido de \vec{v}\times\vec{B} é dado pela regra da mão direita: apontar os dedos na direção de \vec{v} e fechar em direção a \vec{B}; o polegar indica o sentido de \vec{v}\times\vec{B} para uma carga positiva.
  • Como nossa carga é negativa ( q<0), a força \vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B} tem o mesmo módulo mas sentido oposto ao vetor \vec{v}\times\vec{B}. Ou seja: a força é perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{B}, e seu sentido é o inverso do que a regra da mão direita daria para uma carga positiva.
  • Em palavras simples: a força aponta para fora do plano formado por \vec{v} e \vec{B} (ou para dentro), dependendo da orientação específica de \vec{v} e \vec{B}; o importante é que ela é sempre perpendicular a ambos e, por causa do sinal negativo da carga, é contrária ao sentido da regra da mão direita aplicada a \vec{v} e \vec{B}.

Passo 6

Discutir o que ocorre com a trajetória da partícula quando o campo elétrico é nulo (parte (c)), explicando o porquê físico e dando fórmulas úteis.
  • Propriedade importante: a força magnética está sempre perpendicular à velocidade instantânea ( \vec{F}\perp\vec{v}), porque é proporcional ao produto vetorial \vec{v}\times\vec{B}. Força perpendicular à velocidade não realiza trabalho, portanto não altera o módulo da velocidade (a energia cinética e a velocidade escalar permanecem constantes); a força só muda a direção do movimento.
  • Componente paralela ao campo, v_\parallel, não sofre força magnética (pois \sin0^\circ=0 entre \vec{v}_\parallel e \vec{B}), e continua com movimento retilíneo uniforme ao longo da direção de \vec{B}.
  • Componente perpendicular v_\perp causa movimento circular em torno das linhas de \vec{B} devido à força centrípeta magnética. A frequência angular dessa rotação (frequência ciclotrônica) é
\omega = \frac{|q|B}{m},
onde m é a massa da partícula (não fornecida no enunciado). O período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi m}{|q|B}.
O raio da órbita circular (raio de Larmor) é
r=\frac{m v_\perp}{|q|B}.
  • Como a partícula tem simultaneamente v_\parallel e movimento circular devido a v_\perp, a trajetória resultante é uma hélice (espiral circular) ao longo da direção do campo magnético: a partícula gira ao redor das linhas de campo com raio r enquanto avança com velocidade constante v_\parallel.
  • Observações de casos limites:
    • Se \theta=0^\circ ( \vec{v} paralelo a \vec{B}), então v_\perp=0 e a trajetória é uma linha reta ao longo de \vec{B}.
    • Se \theta=90^\circ ( \vec{v} perpendicular a \vec{B}), então v_\parallel=0 e a trajetória é um círculo perfeito de raio r.
  • No nosso caso específico, com \theta=30^\circ, espera-se uma hélice cujo raio e período dependem da massa m da partícula por meio das fórmulas acima; como m não foi dada, não é possível fornecer valores numéricos para r e T, apenas a descrição qualitativa (hélice, velocidade escalar constante).

Resposta

(a) 4{,}8\times10^{-14}\\ \mathrm{N}
(b) A força é perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{B}; seu sentido é o oposto ao dado pela regra da mão direita aplicada a \vec{v}\times\vec{B} (isso ocorre porque q é negativo).
(c) Com \vec{E}=0 a velocidade escalar permanece constante; a componente v_\perp gera movimento circular em torno das linhas de \vec{B} e a componente v_\parallel mantém um movimento retilíneo uniforme ao longo de \vec{B}. A trajetória é, portanto, uma hélice (casos limites: \theta=0^\circ → reta; \theta=90^\circ → círculo).

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