(Força magnética sobre partícula) Uma partícula com carga
se move com velocidade
de módulo
em uma região onde há um campo magnético uniforme
de módulo 0.20 T . O ângulo entre
e
é de
.
(a) Calcule o módulo da força magnética que age sobre a partícula.
(b) Indique, qualitativamente, a direção da força em relação a
e
.
(c) Discuta o que ocorre com a trajetória da partícula se o campo elétrico for nulo.
(a) Calcule o módulo da força magnética que age sobre a partícula.
(b) Indique, qualitativamente, a direção da força em relação a
(c) Discuta o que ocorre com a trajetória da partícula se o campo elétrico for nulo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e as perguntas feitas.
-
Dados fornecidos:
- carga da partícula:
. - módulo da velocidade:
. - módulo do campo magnético:
. - ângulo entre
e : . - campo elétrico é nulo (para a parte (c) é dito que o campo elétrico é nulo).
- carga da partícula:
-
Perguntas:
(a) Calcular o módulo da força magnética que age sobre a partícula.
(b) Indicar qualitativamente a direção da força em relação ae .
(c) Discutir o que ocorre com a trajetória da partícula se o campo elétrico for nulo.
Passo 2
Apresentar a fórmula física que vamos usar e explicar cada termo de forma didática.
- A força magnética sobre uma carga
que se move com velocidade em um campo magnético é dada pelo produto vetorial
Explicando cada símbolo:
-
é a carga elétrica (em coulombs, ). Pode ser positiva ou negativa. -
é o vetor velocidade (módulo em ). -
é o vetor campo magnético (módulo em tesla, ). -
é o produto vetorial que gera um vetor perpendicular a e . -
O módulo da força magnética é
onde
é o ângulo entre
e
. Note que usei
porque aqui queremos o módulo (número positivo); o sinal de
influencia apenas a direção (sentido) da força.
Passo 3
Calcular os componentes da velocidade relevantes e usar valores numéricos passo a passo.
-
Primeiro, o seno do ângulo é simples:
. -
Podemos também separar a velocidade em componente perpendicular e paralela ao campo, pois isso ajuda a interpretar a trajetória:
- componente perpendicular ao campo:
Substituindo, - componente paralela ao campo:
Numericamente,
Passo 4
Calcular o módulo da força magnética usando a fórmula e mostrar todas as contas.
- Usando
e os dados: Substituindo : - Fazer as multiplicações em etapas:
e os fatores de potência: Então Multiplicando por : Multiplicando por : - Portanto o módulo da força magnética é
Passo 5
Explicar qualitativamente a direção da força (resposta à parte (b)) de modo didático.
- Teoria rápida: o produto vetorial
resulta em um vetor perpendicular ao plano formado por e . O sentido de é dado pela regra da mão direita: apontar os dedos na direção de e fechar em direção a ; o polegar indica o sentido de para uma carga positiva. - Como nossa carga é negativa (
), a força tem o mesmo módulo mas sentido oposto ao vetor . Ou seja: a força é perpendicular tanto a quanto a , e seu sentido é o inverso do que a regra da mão direita daria para uma carga positiva. - Em palavras simples: a força aponta para fora do plano formado por
e (ou para dentro), dependendo da orientação específica de e ; o importante é que ela é sempre perpendicular a ambos e, por causa do sinal negativo da carga, é contrária ao sentido da regra da mão direita aplicada a e .
Passo 6
Discutir o que ocorre com a trajetória da partícula quando o campo elétrico é nulo (parte (c)), explicando o porquê físico e dando fórmulas úteis.
- Propriedade importante: a força magnética está sempre perpendicular à velocidade instantânea (
), porque é proporcional ao produto vetorial . Força perpendicular à velocidade não realiza trabalho, portanto não altera o módulo da velocidade (a energia cinética e a velocidade escalar permanecem constantes); a força só muda a direção do movimento. - Componente paralela ao campo,
, não sofre força magnética (pois entre e ), e continua com movimento retilíneo uniforme ao longo da direção de . - Componente perpendicular
causa movimento circular em torno das linhas de devido à força centrípeta magnética. A frequência angular dessa rotação (frequência ciclotrônica) é
onde
é a massa da partícula (não fornecida no enunciado). O período é
O raio da órbita circular (raio de Larmor) é
- Como a partícula tem simultaneamente
e movimento circular devido a , a trajetória resultante é uma hélice (espiral circular) ao longo da direção do campo magnético: a partícula gira ao redor das linhas de campo com raio enquanto avança com velocidade constante . - Observações de casos limites:
- Se
( paralelo a ), então e a trajetória é uma linha reta ao longo de . - Se
( perpendicular a ), então e a trajetória é um círculo perfeito de raio .
- Se
- No nosso caso específico, com
, espera-se uma hélice cujo raio e período dependem da massa da partícula por meio das fórmulas acima; como não foi dada, não é possível fornecer valores numéricos para e , apenas a descrição qualitativa (hélice, velocidade escalar constante).
Resposta
(a)
(b) A força é perpendicular tanto a quanto a
; seu sentido é o oposto ao dado pela regra da mão direita aplicada a
(isso ocorre porque
é negativo).
(c) Com a velocidade escalar permanece constante; a componente
gera movimento circular em torno das linhas de
e a componente
mantém um movimento retilíneo uniforme ao longo de
. A trajetória é, portanto, uma hélice (casos limites:
→ reta;
→ círculo).
(b) A força é perpendicular tanto a
(c) Com