Um automorfismo de um anel
é um isomorfismo
. Sendo
é um automorfismo, mostre que
- Se
então
;
- que
para todo
;
- que
para todo
- Mostre que
.
- Conclua que
é o único automorfismo de
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre automorfismos de anéis, que são funções bijetivas que preservam as operações de adição e multiplicação dentro de um anel. No nosso caso, o anel é
, o conjunto dos números racionais. Precisamos mostrar que a única forma de automorfismo nesse anel é a função identidade, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender como essas funções agem sobre os números inteiros e racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que
é um automorfismo de
e que
. Como
preserva a estrutura do anel, ele deve preservar a multiplicação. Sabemos que
é o elemento neutro da multiplicação em
, então temos:
Resolvendo
Passo 3
Agora que sabemos que
, vamos mostrar que
para todo
. Usando a propriedade de preservação da adição, temos:
Passo 4
Agora, vamos estender isso para todos os inteiros
. Se
é um inteiro negativo, digamos
onde
, então:
Portanto,
Passo 5
Finalmente, vamos mostrar que
para todo
. Sabemos que:
Já que
Além disso, como
é um homomorfismo, deve preservar os inversos multiplicativos:
Portanto:
Resposta
Concluímos que o único automorfismo de
é a função identidade, ou seja,
para todo
.