Considere a matriz A=[ll1 & 0 1 & 1]. Calcule: A^n, n in N, n >= 1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Você me pediu para calcular 1 & 0 1 & 1, onde é a matriz e é um número natural maior ou igual a 1. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre potenciação de matrizes e como multiplicar matrizes. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos duas matrizes e , o elemento na posição da matriz resultado é a soma dos produtos dos elementos da linha de com os elementos da coluna de .
No nosso caso, como queremos elevar a matriz a uma potência , vamos multiplicar a matriz por ela mesma vezes. Mas, antes de fazer isso manualmente, vamos procurar um padrão que facilite nossos cálculos.

Passo 3

Observando a matriz 1 & 0 1 & 1, vemos que ela é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Isso simplifica um pouco a multiplicação, porque muitos produtos vão resultar em zero.
Vamos calcular A^2 = A times A = 1 & 0 1 & 1 times 1 & 0 1 & 1 = (1 times 1 + 0 times 1) & (1 times 0 + 0 times 1) (1 times 1 + 1 times 1) & (1 times 0 + 1 times 1) = 1 & 0 2 & 1 para começar e ver se encontramos um padrão:
Percebemos que a entrada abaixo da diagonal principal aumentou em 1.

Passo 4

Vamos agora calcular A^3 = A^2 times A = 1 & 0 2 & 1 times 1 & 0 1 & 1 = (1 times 1 + 0 times 1) & (1 times 0 + 0 times 1) (2 times 1 + 1 times 1) & (2 times 0 + 1 times 1) = 1 & 0 3 & 1 para confirmar se o padrão continua:
Agora, a entrada abaixo da diagonal principal é 3. Parece que a cada multiplicação, esse valor aumenta de 1.

Passo 5

Observando os resultados de A^n = 1 & 0 n & 1 e , podemos conjecturar que, de maneira geral:
Para confirmar essa fórmula, podemos usar o princípio da indução matemática, mas para fins desta explicação, vamos assumir que esse padrão continua para qualquer número natural .

Resposta

Portanto, para qualquer A^n = 1 & 0 n & 1 e , temos:

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