Considere a matriz
. Calcule:
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Você me pediu para calcular
, onde
é a matriz
e
é um número natural maior ou igual a 1. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre potenciação de matrizes e como multiplicar matrizes. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos duas matrizes
e
, o elemento na posição
da matriz resultado é a soma dos produtos dos elementos da linha
de
com os elementos da coluna
de
.
No nosso caso, como queremos elevar a matriz
a uma potência
, vamos multiplicar a matriz
por ela mesma
vezes. Mas, antes de fazer isso manualmente, vamos procurar um padrão que facilite nossos cálculos.
Passo 3
Observando a matriz
, vemos que ela é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Isso simplifica um pouco a multiplicação, porque muitos produtos vão resultar em zero.
Vamos calcular
para começar e ver se encontramos um padrão:
Percebemos que a entrada abaixo da diagonal principal aumentou em 1.
Passo 4
Vamos agora calcular
para confirmar se o padrão continua:
Agora, a entrada abaixo da diagonal principal é 3. Parece que a cada multiplicação, esse valor aumenta de 1.
Passo 5
Observando os resultados de
e
, podemos conjecturar que, de maneira geral:
Para confirmar essa fórmula, podemos usar o princípio da indução matemática, mas para fins desta explicação, vamos assumir que esse padrão continua para qualquer número natural
.
Resposta
Portanto, para qualquer
e
, temos: