Um automóvel de 2.000 kgf percorria uma avenida no rumo leste a 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} quando colidiu com um caminhão de 4.000 kgf que pretendia cruzá-lo, indo para o sul a 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Se eles se unem após a colisão, qual o módulo e direção da velocidade comum?

Passo 1

O enunciado pede o módulo e a direção da velocidade comum após a colisão entre dois veículos que se unem. As informações fornecidas são:
  • massa do automóvel: m_1=2000\\ \mathrm{kgf};
  • velocidade do automóvel: \text{leste at } 60\\ \mathrm{km/h};
  • massa do caminhão: m_2=4000\\ \mathrm{kgf};
  • velocidade do caminhão: \text{sul at } 20\\ \mathrm{km/h};
  • após a colisão os veículos se unem (colisão perfeitamente inelástica), portanto têm velocidade comum \vec{v}_f.
O que se pede:
  • o módulo de \vec{v}_f;
  • a direção de \vec{v}_f (em relação ao leste, por exemplo).

Passo 2

Observação sobre unidades e estratégia: a conservação do momento linear usa massas. O enunciado deu massas em \mathrm{kgf}; nestes exercícios costuma-se tratar numericamente esses valores como massas em quilogramas, isto é m_1=2000 e m_2=4000 (unidade: \mathrm{kg}). Vou proceder com essas massas e aplicar conservação do momento linear vetorial. Em seguida converto velocidades para \mathrm{m/s} para trabalhar com unidades SI.
Conversão de velocidade:
60\\ \mathrm{km/h}=\dfrac{60}{3,6}\\ \mathrm{m/s}=\dfrac{50}{3}\\ \mathrm{m/s}
20\\ \mathrm{km/h}=\dfrac{20}{3,6}\\ \mathrm{m/s}=\dfrac{50}{9}\\ \mathrm{m/s}

Passo 3

Escolho um sistema de coordenadas: eixo x apontando para o leste e eixo y apontando para o norte. Assim:
  • velocidade do automóvel (leste): \vec{v}_1=\left(\dfrac{50}{3},\,0\right)\\ \mathrm{m/s};
  • velocidade do caminhão (sul): \vec{v}_2=\left(0,\,-\dfrac{50}{9}\right)\\ \mathrm{m/s}.
A conservação do momento linear (vetorial) para colisão sem forças externas significativas diz:
m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1+m_2)\vec{v}_f.
Aqui m_1 e m_2 são as massas, \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são as velocidades iniciais e \vec{v}_f é a velocidade comum final.

Passo 4

Escrevendo as componentes x e y separadamente:
para a componente x:
m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = (m_1+m_2) v_{f,x}.
Substituindo números:
2000\cdot\dfrac{50}{3} + 4000\cdot 0 = 6000\cdot v_{f,x}.
Calculando o numerador:
2000\cdot\dfrac{50}{3}=\dfrac{100000}{3}.
Logo
v_{f,x}=\dfrac{\dfrac{100000}{3}}{6000}=\dfrac{100000}{18000}=\dfrac{50}{9}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para a componente y:
m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} = (m_1+m_2) v_{f,y}.
Substituindo:
2000\cdot 0 + 4000\cdot\left(-\dfrac{50}{9}\right)=6000\cdot v_{f,y}.
Calculando o numerador:
4000\cdot\left(-\dfrac{50}{9}\right)=-\dfrac{200000}{9}.
Logo
v_{f,y}=\dfrac{-\dfrac{200000}{9}}{6000}=-\dfrac{200000}{54000}=-\dfrac{100}{27}\\ \mathrm{m/s}.
Expressões numéricas aproximadas:
v_{f,x}=\dfrac{50}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 5,556\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{f,y}=-\dfrac{100}{27}\\ \mathrm{m/s}\approx -3,704\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Cálculo do módulo da velocidade comum. O módulo é
v_f=\sqrt{v_{f,x}^2+v_{f,y}^2}.
Substituindo as frações:
v_f=\sqrt{\left(\dfrac{50}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{100}{27}\right)^2} =\sqrt{\dfrac{2500}{81}+\dfrac{10000}{729}}.
Colocando em denominador comum 729:
\dfrac{2500}{81}=\dfrac{22500}{729}, \qquad \dfrac{22500+10000}{729}=\dfrac{32500}{729}.
Portanto
v_f=\sqrt{\dfrac{32500}{729}}=\dfrac{\sqrt{32500}}{27}=\dfrac{50\sqrt{13}}{27}\\ \mathrm{m/s}.
Aproximação numérica:
v_f\approx 6,679\\ \mathrm{m/s}.
Se quiser em \mathrm{km/h}: multiplica por 3,6,
v_f\approx 24,05\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Cálculo da direção. Como v_{f,x}>0 e v_{f,y}<0, o vetor aponta para sudeste (isto é, abaixo do leste). O ângulo \theta medido a partir do leste em direção ao sul é
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{|v_{f,y}|}{v_{f,x}}\right) =\arctan\!\left(\dfrac{\dfrac{100}{27}}{\dfrac{50}{9}}\right).
Simplificando a fração:
\dfrac{\dfrac{100}{27}}{\dfrac{50}{9}}=\dfrac{100}{27}\cdot\dfrac{9}{50}=\dfrac{900}{1350}=\dfrac{2}{3}.
Logo
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx 33,69^\circ.
Interpretação: a velocidade comum tem direção de 33,69^\circ ao sul do leste.

Passo 8

Resumo em linguagem direta e um empurrãozinho final: os dois veículos, após se unirem, seguem para sudeste com velocidade de aproximadamente 6,679\\ \mathrm{m/s}, formando um ângulo de cerca de 33,69^\circ abaixo da direção leste. Conseguiu visualizar? Força — é exatamente esse procedimento que cai na prova: conservar momento por componentes, converter unidades, calcular magnitude e ângulo.

Resposta

v_f=\dfrac{50\sqrt{13}}{27}\\ \mathrm{m/s}\approx 6,679\\ \mathrm{m/s}\\ (\approx 24,05\\ \mathrm{km/h})
direção: 33,69^\circ ao sul do leste

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