Um tanque aberto com 3 m de altura é totalmente preenchido inicialmente com água. Para descarga do tanque é utilizado um tubo cujo diâmetro é de 12 cm e comprimento de 20 m . Considere a perda de carga irreversível do sistema sendo de 1,3 \mathrm{~m}. Determine a velocidade de descarga do tanque.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Altura do tanque (nível livre até a saída): h=3\\ \mathrm{m}.
  • Tubo de descarga: diâmetro D=12\\ \mathrm{cm}=0,12\\ \mathrm{m} e comprimento L=20\\ \mathrm{m}. (Esses dados servem caso queira calcular vazão depois.)
  • Perda de carga irreversível total no sistema: h_L=1{,}3\\ \mathrm{m}. (O enunciado já nos deu a perda total; não precisamos calcular perda por atrito separadamente.)
  • O tanque está aberto ao ar, e a saída descarrega para a atmosfera (pressões na superfície livre e na saída iguais e iguais à atmosférica).
  • O enunciado pede: determinar a velocidade de descarga no tubo, v (velocidade do escoamento na saída do tubo).
Observação implícita (padrão em problemas deste tipo): a velocidade do nível livre é desprezível em comparação com a velocidade na tubulação (tanque grande frente ao tubo). Vou adotar essa hipótese.

Passo 2

Vamos usar a conservação de energia (equação que relaciona nível livre do tanque e saída), incluindo as perdas. A forma prática é:
\frac{p_1}{\rho g}+z_1+\frac{\alpha_1 v_1^2}{2g}=\frac{p_2}{\rho g}+z_2+\frac{\alpha_2 v_2^2}{2g}+h_L,
onde
  • p/\rho g é a carga de pressão (m),
  • z é a cota geométrica (m),
  • \alpha v^2/(2g) é a carga cinética (m) com \alpha fator de correção (aqui \alpha\approx1 para fluxos bem distribuídos),
  • h_L é a perda de carga total (m).
Justificações para simplificar:
  • Pressões na superfície livre e na saída são atmosféricas: p_1=p_2, então os termos p/\rho g se cancelam.
  • Velocidade do nível livre v_1 é desprezível ( v_1\approx0) comparada com a velocidade na tubulação v_2=v.
  • A diferença de cota entre superfície livre e saída é z_1-z_2=h (o nível do fluido está a h acima da saída).
Com isso a equação reduz-se a:
h=\frac{v^2}{2g}+h_L.
Isolando v obtemos a fórmula prática que vamos aplicar:
v=\sqrt{2g\,(h-h_L)}.
Explicando cada símbolo:
  • v é a velocidade de descarga que queremos (m/s).
  • g é a aceleração da gravidade; usaremos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • h é a carga disponível (diferença de nível livre para a saída) em metros.
  • h_L é a perda de carga total (em metros) fornecida no enunciado.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos na fórmula:
Primeiro calcule a carga útil:
h-h_L=3{,}0-1{,}3=1{,}7\\ \mathrm{m}.
Agora calcule 2g(h-h_L):
2g(h-h_L)=2\cdot 9{,}81\cdot 1{,}7.
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot 9{,}81=19{,}62,
19{,}62\cdot 1{,}7=33{,}354.
Portanto
v=\sqrt{33{,}354}\approx 5{,}776\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
v\approx 5{,}78\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Comentário prático rapidinho (opcional): se quiser a vazão volumétrica Q, usa-se Q=A v com A=\pi D^2/4. Para D=0{,}12\\ \mathrm{m} tem-se A=\pi(0{,}06)^2\approx 0{,}01131\\ \mathrm{m^2} e então Q\approx 0{,}01131\cdot 5{,}776\approx 0{,}0653\\ \mathrm{m^3/s} (≈ 65{,}3\\ \mathrm{L/s}). Isso é só um bônus caso precise da vazão.

Resposta

v\approx 5{,}78\\ \mathrm{m/s}

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