(2.) (a) Um vagão de carga vazio, pesando 10.000 kgf , desloca-se a 0,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre uma estrada plana e choca-se com outro, parado, pesando 20.000 kgf e com os freios liberados. Se os carros se juntam, encontre a velocidade comum após o choque. (b) Calcule o acréscimo/ decréscimo de energia cinética resultante da colisão. (c) Com qual velocidade deveria o vagão carregado deslocar-se contra o vazio para que ambos fossem levados ao repouso pela colisão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (vou interpretar os valores em “kgf” como massas numericamente iguais em quilogramas, isto é, 1\\ \mathrm{kgf} corresponde à massa 1\\ \mathrm{kg} no uso comum desses enunciados).
Dados:
  • vagão vazio (1): massa \,m_1=10000\\ \mathrm{kg} (dado como 10000\\ \mathrm{kgf}),
  • vagão carregado (2): massa \,m_2=20000\\ \mathrm{kg} (dado como 20000\\ \mathrm{kgf}),
  • velocidade inicial do vagão vazio: \,u_1=0{,}9\\ \mathrm{m/s},
  • velocidade inicial do vagão carregado (no item (a) e (b)): \,u_2=0\\ \mathrm{m/s} (parado),
  • os carros se juntam após o choque (colisão perfeitamente inelástica).
Perguntas:
(a) encontrar a velocidade comum v após o choque;
(b) calcular o acréscimo/decréscimo da energia cinética resultante da colisão (ou seja, \Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}});
(c) determinar com que velocidade o vagão carregado deveria deslocar-se contra o vagão vazio (que está se movendo a 0{,}9\\ \mathrm{m/s}) para que ambos ficassem em repouso após a colisão.

Passo 2

Princípio físico que vou usar (explicação didática): conservação da quantidade de movimento (momentum). A quantidade de movimento de um corpo é definida por \,p=mv, onde \,m é a massa e \,v a velocidade. Em um sistema isolado (forças externas desprezíveis durante o choque) a soma das quantidades de movimento antes do choque é igual à soma depois do choque:
\sum p_{\text{inicial}}=\sum p_{\text{final}}.
No caso de colisão em que os corpos se juntam (colisão perfeitamente inelástica), pode-se escrever:
m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1+m_2)\,v,
onde v é a velocidade comum após o choque. Vou usar essa fórmula no item (a).

Passo 3

Aplicando a conservação do momentum para obter v (resolvendo a equação do passo anterior). Substituindo os dados:
m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1+m_2)\,v.
Como u_2=0, isto fica
m_1 u_1 = (m_1+m_2)\,v.
Logo
v=\frac{m_1 u_1}{m_1+m_2}.
Agora calculo numericamente:
v=\frac{10000\cdot 0{,}9}{10000+20000}=\frac{9000}{30000}=0{,}3\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade comum após o choque é \,v=0{,}3\\ \mathrm{m/s} no mesmo sentido de u_1.

Passo 4

Agora explico a energia cinética e calculo a variação (item (b)). A energia cinética de um corpo é dada por
K=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa e v a velocidade. A energia cinética total inicial do sistema (somente o vagão 1 se move) é
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2} m_1 u_1^{2}+\tfrac{1}{2} m_2 u_2^{2}.
Como u_2=0,
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2} m_1 u_1^{2}.
A energia cinética final, com ambos juntos movendo-se a v, é
K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\,v^{2}.

Passo 5

Faço as contas numéricas para as energias:
Primeiro K_{\text{inicial}}:
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}\cdot 10000\cdot(0{,}9)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 10000\cdot 0{,}81=5000\cdot 0{,}81=4050\\ \mathrm{J}.
Agora K_{\text{final}} usando v=0{,}3\\ \mathrm{m/s}:
K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}\cdot 30000\cdot(0{,}3)^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 30000\cdot 0{,}09=15000\cdot 0{,}09=1350\\ \mathrm{J}.
A variação é
\Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}=1350-4050=-2700\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: a energia cinética diminuiu em 2700\\ \mathrm{J}; essa energia foi dissipada em deformação, calor, som, etc., durante a colisão inelástica.

Passo 6

Para o item (c) devo encontrar com que velocidade u_2 o vagão carregado (massa m_2) deverá deslocar-se contra o vagão vazio (massa m_1) de modo que, após se juntarem, ambos fiquem em repouso. Vou assumir que o vagão vazio está se movendo inicialmente com u_1=0{,}9\\ \mathrm{m/s} (mesmo valor do item (a)) e que o vagão carregado se move em sentido oposto, com velocidade desconhecida u_2 (tomarei sinais de velocidade: positivo no sentido do movimento original do vagão vazio; portanto u_2 será negativo se vem na direção oposta, mas posso usar a equação vetorial diretamente).
Conservação do momentum exige
m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1+m_2)\,v_{\text{final}}.
Queremos v_{\text{final}}=0. Portanto
m_1 u_1 + m_2 u_2 = 0.
Isolando u_2:
u_2 = -\frac{m_1}{m_2}\,u_1.
O sinal negativo indica sentido oposto ao de u_1. Numericamente:
u_2 = -\frac{10000}{20000}\cdot 0{,}9 = -\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}9 = -0{,}45\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Interpretação final do item (c): o vagão carregado deve deslocar-se na direção oposta ao vagão vazio, com velocidade de módulo \,0{,}45\\ \mathrm{m/s}, ou seja, velocidade \,-0{,}45\\ \mathrm{m/s} se tomarmos o sentido do vagão vazio como positivo. Assim seus momentos se cancelam e o conjunto fica em repouso após a colisão.

Resposta

(a) v=0{,}3\\ \mathrm{m/s}.
(b) \Delta K=-2700\\ \mathrm{J} (diminuição de 2700\\ \mathrm{J}).
(c) u_2=-0{,}45\\ \mathrm{m/s} (ou seja, o vagão carregado deve mover-se em sentido oposto com velocidade de módulo 0{,}45\\ \mathrm{m/s}).

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