Um automóvel de massa 1.800 kg é conduzido em um declive de 5^{\circ} a uma velocidade de 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} quando os freios são aplicados, causando uma força total de frenagem de 7.000 N (aplicada pela estrada nos pneus). Determine o tempo transcorrido até o automóvel parar.

Passo 1

O enunciado dá um automóvel de massa m=1800\:\mathrm{kg} descendo um plano inclinado de ângulo \theta=5^\circ com velocidade inicial de 100\:\mathrm{km/h}. Ao frear, surge uma força de atrito total F_{\rm fr}=7000\:\mathrm{N} que se opõe ao movimento. Queremos o tempo até parar, usando:
  1. Decomposição da força peso ao longo do plano;
  2. Segunda lei de Newton ( \sum F = m a);
  3. Equação cinemática para v_f=0.

Passo 2

Converter a velocidade inicial de \displaystyle 100\:\mathrm{km/h} para metros por segundo:
v_0 = 100\:\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\times \frac{1000\:\mathrm{m}}{1\:\mathrm{km}}\times \frac{1\:\mathrm{h}}{3600\:\mathrm{s}} = \frac{100\times1000}{3600}\:\mathrm{m/s} \approx 27{,}78\:\mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular a componente da força peso mg paralela ao plano:
F_{g\parallel} = m\,g\,\sin\theta = 1800\times9{,}8\times\sin(5^\circ) \approx 1800\times9{,}8\times0{,}08716 \approx 1538\:\mathrm{N}.
Essa força aponta para baixo do plano, ajudando o carro a descer.

Passo 4

Escolhendo o eixo positivo para cima do plano, temos duas forças ao longo do plano:
  • A força de atrito F_{\rm fr}=+7000\:\mathrm{N} (para cima, reduz a descida).
  • A componente do peso F_{g\parallel}=-1538\:\mathrm{N} (para baixo).
    Logo, a resultante sobre o carro é
F_{\rm res} = F_{\rm fr} + (-F_{g\parallel}) = 7000 - 1538 = 5462\:\mathrm{N}.

Passo 5

Pela segunda lei de Newton, \displaystyle F_{\rm res} = m\,a. Assim, a aceleração ao longo do plano é
a = \frac{F_{\rm res}}{m} = \frac{5462}{1800} \approx 3{,}034\:\mathrm{m/s^2}.
Como escolhemos sentido positivo para cima, essa aceleração é direcionada para cima do plano, ou seja, desacelera o movimento de descida.

Passo 6

Usar a equação cinemática para velocidade final v_f=0 (parada):
v_f = v_0 + a\,t \quad\Longrightarrow\quad 0 = 27{,}78 - 3{,}034\,t.
Isolando t:
t = \frac{27{,}78}{3{,}034} \approx 9{,}16\:\mathrm{s}.

Resposta

O tempo transcorrido até o automóvel parar é aproximadamente 9{,}2\:\mathrm{s}.

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