A Tomografia PET permite obter imagens do corpo humano com maiores detalhes, e menor exposição à radiação, do que as técnicas tomográficas actualmente em uso. A técnica PET utiliza compostos marcados com { }^{6} \mathrm{C}_{11}. Este isótopo emite um positrão, formando um novo núcleo, em um processo com a meia-vida de 20,4 minutos. O positrão emitido captura rapidamente um electrão, e se aniquila, emitindo energia na forma de radiação gama. Determine por quanto tempo uma amostra de { }_{6}^{11} \mathrm{C} pode ser usada, até que sua actividade radioactiva se reduza a 25 \% de seu valor inicial.

Passo 1

O enunciado fala que o isótopo { }_{6}^{11}\mathrm{C} tem meia-vida de 20{,}4 minutos e que sua atividade radioativa decai exponencialmente. A questão pede o tempo necessário para que a atividade caia a 25\% do valor inicial. Vamos aplicar o modelo de decaimento radioativo, que liga atividade, meia-vida e tempo de decaimento.

Passo 2

No decaimento radioativo, a atividade A(t) num instante t é dada por
A(t) = A_0\,e^{-\lambda t},
onde A_0 é a atividade inicial e \lambda é a constante de decaimento. Sabemos que a meia-vida T_{1/2} satisfaz
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Como queremos A(t)/A_0 = 0{,}25, substituímos na fórmula exponencial.

Passo 3

Temos
\frac{A(t)}{A_0} = e^{-\lambda t} = 0{,}25.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
-\lambda t = \ln(0{,}25) \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{\ln(0{,}25)}{\lambda}.
Substituindo \lambda = \frac{\ln 2}{20{,}4},
t = -\frac{\ln(0{,}25)}{\ln 2}\,\times 20{,}4.

Passo 4

Sabemos que \ln(0{,}25)=\ln(2^{-2})=-2\ln2, então
t = -\frac{-2\ln2}{\ln2}\times20{,}4 = 2\times20{,}4 = 40{,}8\text{ minutos}.

Resposta

A amostra pode ser usada por aproximadamente 40{,}8 minutos até que sua atividade reduza a 25\% do valor inicial.

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