Use integrais duplas em coordenadas polares para calcular a área das regiões indicadas.
A região interior a curva r=2+\operatorname{sen}(3 \theta)

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pede-se a área da região interior à curva polar r=2+\operatorname{sen}(3\theta).
  • Informação dada: a função radial é r(\theta)=2+\operatorname{sen}(3\theta).
  • Observações úteis (tiradas do enunciado): a função trigonométrica \operatorname{sen} varia entre -1 e 1, logo r(\theta) varia entre 2-1=1 e 2+1=3. Em particular r(\theta)\ge 1>0 para todo \theta.

Passo 2

Fórmula de área em coordenadas polares e por que ela vale.
  • Em coordenadas polares um elemento de área vale \;dA = r\,dr\,d\theta\;. Essa expressão vem do Jacobiano da mudança de variáveis (x,y)\mapsto(r,\theta); geometricamente, um pequeno retângulo dr\times d\theta em coordenadas polares corresponde a uma tira com comprimento aproximado r\,d\theta e largura dr, então área aproximada r\,dr\,d\theta.
  • Para uma curva dada em forma polar r=f(\theta) que pode ser descrita radialmente (isto é, para cada \theta a região vai de r=0 até r=f(\theta)), a área da região interior é
\text{Área}=\iint_{\text{região}} dA=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{0}^{f(\theta)} r\,dr\,d\theta.Áã
  • Fazendo a integral interna em r obtém-se a fórmula prática
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \bigl(f(\theta)\bigr)^2\,d\theta.Á
Aqui f(\theta) é a distância radial da origem até a fronteira no ângulo \theta.

Passo 3

Escolha dos limites em \theta e justificativa.
  • Como r(\theta)=2+\operatorname{sen}(3\theta) é sempre positiva ( \ge 1), a descrição radial "de r=0 até r=r(\theta)" é válida para todo \theta.
  • A função \operatorname{sen}(3\theta) tem período \tfrac{2\pi}{3}. Ao variar \theta de 0 a 2\pi percorre-se a curva inteira (três lobos simétricos) exatamente uma vez cobrindo toda a região interior. Portanto é natural e seguro escolher \theta\in[0,2\pi].

Passo 4

Montagem da integral de área para este problema.
  • Usando a fórmula do passo 2 com f(\theta)=2+\operatorname{sen}(3\theta) e \theta variando de 0 a 2\pi, temos
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \bigl(2+\operatorname{sen}(3\theta)\bigr)^2\,d\theta.Á

Passo 5

Cálculo detalhado da integral (passo a passo).
  • Primeiro expandir o quadrado:
\bigl(2+\operatorname{sen}(3\theta)\bigr)^2 = 4 + 4\operatorname{sen}(3\theta) + \operatorname{sen}^2(3\theta).
  • Então
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \left(4 + 4\operatorname{sen}(3\theta) + \operatorname{sen}^2(3\theta)\right) d\theta.Á
  • Integramos termo a termo. Note que \int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta=0 porque é seno de um múltiplo inteiro de \theta sobre um período inteiro.
  • Para \operatorname{sen}^2(3\theta) usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}^2(3\theta)=\frac{1-\cos(6\theta)}{2}.
  • Então
\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^2(3\theta)\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(6\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(6\theta)\,d\theta.
Aqui \int_{0}^{2\pi}\cos(6\theta)\,d\theta=0 (mesma razão do seno), e \int_{0}^{2\pi}1\,d\theta=2\pi. Logo
\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^2(3\theta)\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.
  • Agora calcule a integral completa:
\int_{0}^{2\pi}\left(4 + 4\operatorname{sen}(3\theta) + \operatorname{sen}^2(3\theta)\right)d\theta = \int_{0}^{2\pi}4\,d\theta + 4\int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta + \int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen}^2(3\theta)\,d\theta.
Substituindo os resultados: \int_{0}^{2\pi}4\,d\theta = 4\cdot 2\pi = 8\pi, o termo com seno é 0, e o último é \pi. Portanto a integral total é 8\pi+\pi=9\pi.
  • Finalmente, multiplicando por \tfrac{1}{2} da fórmula de área:
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot 9\pi=\frac{9\pi}{2}.Á

Passo 6

Interpretação final e dica de prova.
  • Resultado exato: \dfrac{9\pi}{2}.
  • Dica: em provas, sempre verifique se r(\theta) pode ser negativa em algum intervalo (aí precisa cuidado com limites de \theta e com representação radial). Aqui como r\ge 1 não há esse problema, e a fórmula \tfrac{1}{2}\int f(\theta)^2\,d\theta com \theta\in[0,2\pi] funciona direto.

Resposta

\dfrac{9\pi}{2}

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