Use integrais duplas em coordenadas polares para calcular a área das regiões indicadas.
A região interior a curva
A região interior a curva
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- Pede-se a área da região interior à curva polar
. - Informação dada: a função radial é
. - Observações úteis (tiradas do enunciado): a função trigonométrica
varia entre e , logo varia entre e . Em particular para todo .
Passo 2
Fórmula de área em coordenadas polares e por que ela vale.
- Em coordenadas polares um elemento de área vale
. Essa expressão vem do Jacobiano da mudança de variáveis ; geometricamente, um pequeno retângulo em coordenadas polares corresponde a uma tira com comprimento aproximado e largura , então área aproximada . - Para uma curva dada em forma polar
que pode ser descrita radialmente (isto é, para cada a região vai de até ), a área da região interior é
- Fazendo a integral interna em
obtém-se a fórmula prática
Aqui
é a distância radial da origem até a fronteira no ângulo
.
Passo 3
Escolha dos limites em
e justificativa.
- Como
é sempre positiva ( ), a descrição radial "de até " é válida para todo . - A função
tem período . Ao variar de a percorre-se a curva inteira (três lobos simétricos) exatamente uma vez cobrindo toda a região interior. Portanto é natural e seguro escolher .
Passo 4
Montagem da integral de área para este problema.
- Usando a fórmula do passo 2 com
e variando de a , temos
Passo 5
Cálculo detalhado da integral (passo a passo).
- Primeiro expandir o quadrado:
- Então
- Integramos termo a termo. Note que
porque é seno de um múltiplo inteiro de sobre um período inteiro. - Para
usamos a identidade trigonométrica
- Então
Aqui
(mesma razão do seno), e
. Logo
- Agora calcule a integral completa:
Substituindo os resultados:
, o termo com seno é
, e o último é
. Portanto a integral total é
.
- Finalmente, multiplicando por
da fórmula de área:
Passo 6
Interpretação final e dica de prova.
- Resultado exato:
. - Dica: em provas, sempre verifique se
pode ser negativa em algum intervalo (aí precisa cuidado com limites de e com representação radial). Aqui como não há esse problema, e a fórmula com funciona direto.