Q2 - Autovalores e Autovetores

Determine os autovalores e os autovetores (normalizados) associados ao seguinte operador:
A=[ccc 1 & 0 & -1 -2 & 3 & -1 -6 & 6 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e os autovetores normalizados de
A= 1 & 0 & -1 -2 & 3 & -1 -6 & 6 & 0
Para isso, vamos (1) montar o polinômio característico det(hat A-lambda I), (2) encontrar suas raízes lambda e (3) resolver (hat A-lambda I) v=0 para cada lambda, normalizando depois os vetores obtidos.

Passo 2

Calculamos o determinante
det(hat A-lambda I) =det 1-lambda & 0 & -1 -2 & 3-lambda & -1 -6 & 6 & -lambda
Expandindo pela primeira linha:
=(1-lambda)l((3-lambda)(-lambda)-(-1)cdot6r) ;+;(-1)l((-2)cdot6-(-6)(3-lambda)r)
Simplificando cada parte leva a
det(hat A-lambda I)=-lambda(lambda-1)(lambda-3)

Passo 3

Igualando o polinômio a zero, obtemos as raízes
lambda=0, lambda=1, lambda=3

Passo 4

Para
Dessas equações vem , logo um autovetor é . Normalizando:

Passo 5

Para
Daí . Tomando , a norma é , então

Passo 6

Para
Da primeira equação . Tomando , a norma é , logo

Resposta

Autovalores e autovetores normalizados de hat A:
lambda1=0, v0=tfrac1raiz3(1,1,1).
lambda2=1, v1=tfrac1raiz2(1,1,0).
lambda3=3, v3=tfrac1raiz5(1,0,-2).

Exercícios relacionados