1. Com o auxílio da equação [\cos (z)=\cos (x) \operatorname{cosh} (y)-i \operatorname{sen}(x) \operatorname{senh}(y)], mostre que as raízes da equação \cos (z)=2 são
z=2 n \pi+i \operatorname{cosh} ^{-1}(2) \quad(n \in \mathbb{Z})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as raízes da equação \cos(z)=2 são
z=2n\pi+i\operatorname{cosh}^{-1}(2)\quad(n\in\mathbb{Z}).
Informações dadas e relevantes:
  • Foi fornecida a fórmula complexa
\cos(z)=\cos(x)\operatorname{cosh}(y)-i\sin(x)\operatorname{sinh}(y),
que vale para z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • A equação a resolver é \cos(z)=2, sendo 2 um número real.
  • Devemos encontrar todos os z\in\mathbb{C} que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Escrevemos z em termos de partes real e imaginária:
z=x+iy,
com x,y\in\mathbb{R}. Substituindo a expressão dada para \cos(z) na equação \cos(z)=2 obtemos uma igualdade entre números complexos:
\cos(x)\operatorname{cosh}(y)-i\sin(x)\operatorname{sinh}(y)=2.
Como 2 é real, isso implica que a parte imaginária do lado esquerdo deve ser zero e a parte real deve ser 2. Vamos separar essas duas condições.

Passo 3

Condição da parte imaginária:
-\,\sin(x)\operatorname{sinh}(y)=0.
Isto ocorre se e somente se pelo menos uma das duas seguintes igualdades for verdadeira:
\sin(x)=0 \quad\text{ou}\quad \operatorname{sinh}(y)=0.
Vou analisar os dois casos separadamente.

Passo 4

Caso \operatorname{sinh}(y)=0. Lembrando que \operatorname{sinh}(y)=0 se e somente se y=0. Se y=0, então \operatorname{cosh}(y)=\operatorname{cosh}(0)=1 e a parte real da igualdade fica
\cos(x)\cdot 1 = 2,
ou seja \cos(x)=2. Mas \cos(x) para x\in\mathbb{R} sempre satisfaz -1\le \cos(x)\le 1, então \cos(x)=2 é impossível. Portanto não há solução com \operatorname{sinh}(y)=0. Concluímos que devemos ter \sin(x)=0.

Passo 5

Caso \sin(x)=0. Isso significa
x = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Substituímos x=n\pi na parte real da igualdade. A parte real é \cos(x)\operatorname{cosh}(y), então obtemos
\cos(n\pi)\operatorname{cosh}(y)=2.
Usando \cos(n\pi)=(-1)^n, isso vira
(-1)^n\operatorname{cosh}(y)=2.

Passo 6

Analisando (-1)^n\operatorname{cosh}(y)=2. Sabemos que \operatorname{cosh}(y)\ge 1 para todo y\in\mathbb{R} e que \operatorname{cosh}(y)>0. Assim:
  • Se (-1)^n=-1 (ou seja, n ímpar), a equação seria -\operatorname{cosh}(y)=2, o que é impossível porque o lado esquerdo é negativo e o direito é positivo.
  • Se (-1)^n=1 (ou seja, n par), a equação é \operatorname{cosh}(y)=2, que é possível.
Logo só temos soluções quando n é par. Escrevendo n=2m com m\in\mathbb{Z}, temos x=2m\pi e a condição
\operatorname{cosh}(y)=2.

Passo 7

Resolver \operatorname{cosh}(y)=2. Recordando a definição hiperbólica
\operatorname{cosh}(y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2},
substituímos na equação:
\frac{e^y+e^{-y}}{2}=2.
Multiplicando por 2 e recolocando, obtemos uma equação quadrática em u=e^y (observe u>0):
u + \frac{1}{u} = 4 \quad\Longrightarrow\quad u^2 -4u +1 =0.
Resolvendo a quadrática:
u = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.
Como u=e^y>0, ambas raízes são positivas, e correspondem a y=\ln(2+\sqrt{3}) e y=\ln(2-\sqrt{3}). Mas note que
\ln(2-\sqrt{3}) = -\ln(2+\sqrt{3}),
pois (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1. Portanto as soluções para y são
y=\pm \ln(2+\sqrt{3}).
Definimos \operatorname{cosh}^{-1}(2) (a forma usual do arco-cosseno hiperbólico principal) como
\operatorname{cosh}^{-1}(2)=\ln(2+\sqrt{3})>0.
Assim as soluções para y são y=\pm \operatorname{cosh}^{-1}(2).

Passo 8

Reunindo tudo: x=2m\pi com m\in\mathbb{Z} e y=\pm \operatorname{cosh}^{-1}(2). Portanto as raízes de \cos(z)=2 são os complexos
z = 2m\pi \pm i\,\operatorname{cosh}^{-1}(2),\quad m\in\mathbb{Z}.
Se preferir escrever n em vez de m, obtemos a forma equivalente
z = 2n\pi \pm i\,\operatorname{cosh}^{-1}(2),\quad n\in\mathbb{Z}.
Observação final: a expressão do enunciado \;z=2n\pi+i\operatorname{cosh}^{-1}(2)\; corresponde à metade das raízes (com a parte imaginária positiva); incluir n\in\mathbb{Z} já dá a periodicidade, mas para listar todas as raízes precisamos do sinal \pm na parte imaginária, como mostrado acima.

Resposta

z=2n\pi+i\operatorname{cosh}^{-1}(2)\quad(n\in\mathbb{Z})
z=2n\pi-i\operatorname{cosh}^{-1}(2)\quad(n\in\mathbb{Z})

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