1. Calcule a integral I=\int_{C} \frac{d z}{2 \sqrt{z}}, no ramo principal onde \arg \sqrt{z} \in 0 \leq \theta<2 \pi e sendo C o quadrado orientado no sentido anti-horário de: \quad(1, i) \rightarrow(-1, i) \rightarrow(-1,-i) \rightarrow(1,-i).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\int_{C}\frac{dz}{2\sqrt{z}}
no ramo principal indicado, sendo C o quadrado orientado no sentido anti-horário que passa pelos vértices (1,i)\to(-1,i)\to(-1,-i)\to(1,-i) e volta ao ponto inicial (1,i). As informações relevantes são:
\begin{aligned} &\text{1. O integrando é } \frac{1}{2\sqrt{z}}.\\\ &\text{2. O caminho } C \text{ é um laço fechado que envolve a origem } z=0.\\\ &\text{3. Foi escolhido um ramo principal de } \sqrt{z} \text{ (determinando um valor de } \sqrt{z}\text{ em cada ponto,}\\\ &\quad\text{com a convenção do enunciado).}\\\ &\text{4. O ponto inicial e final do contorno é } z_0=1+i. \end{aligned}ééççãé

Passo 2

Uma observação chave (fórmula de derivada) que vamos usar é que, para uma determinação contínua da função raiz quadrada \sqrt{z} num domínio onde ela é analítica, vale
\frac{d}{dz}\big(\sqrt{z}\big)=\frac{1}{2\sqrt{z}}.
Explicando devagar: escrevemos \sqrt{z} como função de z. A derivada dessa função, quando a determinação de \sqrt{z} é contínua, é exatamente \dfrac{1}{2\sqrt{z}}. Isso significa que, em tal domínio, o diferencial satisfaz
d\big(\sqrt{z}\big)=\frac{dz}{2\sqrt{z}}.
Isto é útil porque integrais de diferenciais exatos se transformam em diferenças de valores da função primitiva.

Passo 3

Se o caminho C estivesse em um domínio simplesmente conectado onde \sqrt{z} é analítica (sem envolver o ponto singulare/ramificação z=0), então
\int_C \frac{dz}{2\sqrt{z}}=\int_C d\big(\sqrt{z}\big)=\sqrt{z}\Big|_{\text{final}}^{\text{inicial}}=0,
pois o ponto final e inicial de z coincidem. Mas aqui C envolve z=0, que é ponto de ramificação da raiz; ao percorrermos uma volta completa ao redor de 0 e voltarmos ao mesmo ponto z_0, a continuação analítica da raiz sofre uma mudança de sinal: a raiz quadrada é uma função com monodromia de ordem 2. Mais claramente, escrevendo z=re^{i\theta}, temos
\sqrt{z}=\sqrt{r}\,e^{i\theta/2},
e se aumentamos \theta em 2\pi (volta completa), e^{i(\theta+2\pi)/2}=e^{i\theta/2}e^{i\pi}=-e^{i\theta/2}. Ou seja, após uma volta completa a \sqrt{z} troca de sinal.

Passo 4

Vamos integrar ao longo de C seguindo a continuação analítica da determinação de \sqrt{z} que foi escolhida no ponto inicial z_0=1+i. Pela relação do Passo 2,
\int_C \frac{dz}{2\sqrt{z}}=\int_C d\big(\sqrt{z}\big)=\sqrt{z}\big|_{\text{após continuação}}-\sqrt{z}\big|_{\text{inicial}}.óçã
Como vimos no Passo 3, a continuação analítica de \sqrt{z} ao percorrer uma volta cheia em torno de 0 \sqrt{z}\mapsto -\sqrt{z}. Portanto
\int_C \frac{dz}{2\sqrt{z}}=(-\sqrt{z_0})-(\sqrt{z_0})=-2\sqrt{z_0},
onde \sqrt{z_0} é o valor da raiz quadrada no ponto inicial z_0 segundo a determinação principal indicada no enunciado.

Passo 5

Agora calculamos explicitamente \sqrt{z_0} para z_0=1+i usando a determinação principal. Primeiro escrevemos z_0 em forma polar:
z_0=1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
A raiz quadrada (determinação escolhida) é
\sqrt{z_0}=\sqrt{\sqrt{2}}\,e^{i\pi/8}=2^{1/4}e^{i\pi/8}.
Mostrando passo a passo: |z_0|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. Tomando a raiz quadrada do módulo dá \sqrt{|z_0|}=(\sqrt{2})^{1/2}=2^{1/4}. O argumento de z_0 é \pi/4, então o argumento da raiz é metade, \pi/8.

Passo 6

Substituindo no resultado do Passo 4,
I=\int_C \frac{dz}{2\sqrt{z}}=-2\sqrt{z_0}=-2\cdot 2^{1/4}e^{i\pi/8}=-2^{5/4}e^{i\pi/8}.
Se quisermos uma forma com radicais reais (parte real e imaginária explícitas), usamos as fórmulas
\cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},
o que dá
I=-2^{5/4}\Big(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\Big)=-2^{1/4}\Big(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}\Big).

Resposta

-2^{5/4}e^{i\pi/8}
-2^{1/4}\big(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}\big)

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