- Com o auxílio da equação
, mostre que as raízes da equação
são
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as raízes da equação
são
Informações dadas e relevantes:
- Foi fornecida a fórmula complexa
que vale para
com
.
- A equação a resolver é
, sendo um número real. - Devemos encontrar todos os
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Escrevemos
em termos de partes real e imaginária:
com
. Substituindo a expressão dada para
na equação
obtemos uma igualdade entre números complexos:
Como
é real, isso implica que a parte imaginária do lado esquerdo deve ser zero e a parte real deve ser
. Vamos separar essas duas condições.
Passo 3
Condição da parte imaginária:
Isto ocorre se e somente se pelo menos uma das duas seguintes igualdades for verdadeira:
Vou analisar os dois casos separadamente.
Passo 4
Caso
. Lembrando que
se e somente se
. Se
, então
e a parte real da igualdade fica
ou seja
. Mas
para
sempre satisfaz
, então
é impossível. Portanto não há solução com
. Concluímos que devemos ter
.
Passo 5
Caso
. Isso significa
Substituímos
na parte real da igualdade. A parte real é
, então obtemos
Usando
, isso vira
Passo 6
Analisando
. Sabemos que
para todo
e que
. Assim:
- Se
(ou seja, ímpar), a equação seria , o que é impossível porque o lado esquerdo é negativo e o direito é positivo. - Se
(ou seja, par), a equação é , que é possível.
Logo só temos soluções quando
é par. Escrevendo
com
, temos
e a condição
Passo 7
Resolver
. Recordando a definição hiperbólica
substituímos na equação:
Multiplicando por
e recolocando, obtemos uma equação quadrática em
(observe
):
Resolvendo a quadrática:
Como
, ambas raízes são positivas, e correspondem a
e
. Mas note que
pois
. Portanto as soluções para
são
Definimos
(a forma usual do arco-cosseno hiperbólico principal) como
Assim as soluções para
são
.
Passo 8
Reunindo tudo:
com
e
. Portanto as raízes de
são os complexos
Se preferir escrever
em vez de
, obtemos a forma equivalente
Observação final: a expressão do enunciado
corresponde à metade das raízes (com a parte imaginária positiva); incluir
já dá a periodicidade, mas para listar todas as raízes precisamos do sinal
na parte imaginária, como mostrado acima.