(
) Para um átomo de hidrogênio em duas dimensões, a equação de Schrödinger é
. Se usarmos coordenadas cilíndricas encontraremos a equação em
,
Encontre a equação em
e sua solução. Em que contextos específicos a análise do átomo de hidrogênio em duas dimensões se faz necessária?
Passo 1
O enunciado dá a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio em duas dimensões, na forma
e informa que, ao separar variáveis em coordenadas cilíndricas (polares em 2D), a parte angular satisfaz
O que a questão pede:
- Encontrar a equação diferencial para a parte radial
. - Encontrar a solução para
(autofunções radiais vinculadas aos estados ligados). - Dizer em que contextos específicos a análise do átomo de hidrogênio em duas dimensões é necessária.
Informações relevantes fornecidas:
- Operador laplaciano em 2D será usado em coordenadas polares.
- A separação de variáveis foi iniciada (com a equação angular dada).
- Constantes: carga nuclear
, coordenada radial , energia , e parâmetro angular (vinculado à dependência em ).
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever o laplaciano em coordenadas polares (2D). A fórmula é padrão e precisamos dela para separar a equação. Em 2D:
Explico: o termo
trata da curvatura radial, o termo
aparece por causa da divergência em coordenadas polares, e o termo
é a contribuição angular “dividida” por
.
Passo 3
Usamos separação de variáveis: escrevemos
Substituindo na equação dada
e dividindo por
obtemos (fazendo as contas com o laplaciano acima)
Agora isolo a parte que depende somente de
: como o segundo termo depende somente de
(multiplicado por
), a separação exige que
ou seja a equação angular física correta é
com
inteiro (explico por quê no próximo passo). Observação: o enunciado deu
— isso produziria soluções exponenciais em
e violaria a periodicidade em
(a função de onda deve satisfazer
), portanto o sinal físico correto é o negativo acima; é comum o enunciado ter um sinal trocado, e aqui corrigimos com fundamento físico (periodicidade angular). As soluções são
com
.
Passo 4
Com
(e
inteiro), substituímos de volta e obtemos a equação radial. A equação resultante é
Esta é a equação radial que nós buscávamos. Aqui:
-
é a segunda derivada de em , -
é a primeira derivada, - o termo
vem da separação angular (efeito centrífugo em 2D), -
é o potencial coulombiano em 2D com as unidades adotadas pelo enunciado, -
é a energia.
Passo 5
Queremos resolver essa equação para estados ligados (energia
). É prática comum definir
e mudar de variável para tornar a equação numa forma conhecida. Definimos a variável adimensional
Substituindo
e fazendo a transformação de derivadas (
), a equação radial transforma-se em
Este passo é cálculo mecânico de mudança de variável; o objetivo é colocar a equação numa forma que admita a técnica padrão de fatoração assintótica.
Passo 6
Analise do comportamento em
e
(essencial para escolher a forma de solução):
- Perto de
(ou ) espera-se para que seja finito (evitar singularidade mais forte). - Para
(ou ), pela presença do termo a solução deve decair como para ser normalizável (estado ligado).
Portanto tentamos a ansatz padrão
onde
é uma função que deve ser regular em
e comportar-se polinomialmente (para que a solução não exploda no infinito).
Passo 7
Substituindo
com
na equação do Passo 5 e simplificando (faça as contas passo a passo se quiser conferir), obtemos a equação de Kummer (confluent hypergeometric) para
:
Esta é a equação padrão cujo tipo de solução geral é a função confluent hypergeometric
(também chamada
de Kummer). Identificando com a forma canônica, temos os parâmetros
Passo 8
Condicionamento para estados ligados: queremos
normalizável em
. A função
cresce exponencialmente para
a menos que
seja um inteiro não positivo,
com
. Essa condição transforma
numa combinação polinomial proporcional ao polinômio de Laguerre associado
. Assim a condição de quantização é
onde
é o número quântico radial e
.
Daí obtemos
e, lembrando
, as energias dos estados ligados são
Note que, diferente do caso 3D, aparece a meia unidade
deslocando os níveis em 2D.
Passo 9
Expressão explícita das autofunções radiais. Com
e usando a redução de
para polinômios de Laguerre associados, a solução radial (normalização
deixamos simbólica) fica
onde
é o polinômio de Laguerre associado. O fator
é determinado impondo a normalização
isto é,
quando
está normalizada em
. Escrevendo explicitamente a solução completa (incluindo a dependência angular):
Passo 10
Resumo físico e justificativa das escolhas: por que
inteiro e por que
?
- A condição
força e, com isso, a angular é . - A condição
garante que a função confluent hypergeometric não exploda no infinito e torne normalizável, levando aos polinômios de Laguerre e à quantização discreta das energias.
Passo 11
Contextos e aplicações específicas em que o átomo de hidrogênio em duas dimensões é necessário ou útil (lista de exemplos concretos):
- Física de estados bidimensionais em semicondutores: modelos de impurezas (doadores/aceptores) confinadas em poços quânticos ou heteroestruturas 2D.
- Excítons em materiais bidimensionais (como dicalcogenetos de metais de transição: MoS
, WS ), onde o problema efetivo é 2D e o potencial coulombiano leva a espectros semelhantes ao hidrogênio 2D. - Elétrons presos em superfícies (p.ex. elétrons sobre hélio líquido) e átomos adsorvidos em superfícies onde o movimento efetivo é bidimensional.
- Modelos teóricos simplificados (pedagógicos) para estudar efeitos de redução dimensional em problemas de estrutura eletrônica e correlações quânticas.
- Gases de átomos ultrafrios confinados em armadilhas fortemente anisotrópicas, produzindo movimento essencialmente 2D; em alguns regimes o par atraente entre partículas pode ser aproximado por um potencial coulombiano efetivo.
Esses contextos são todos situações físicas em que a mobilidade efetiva é restrita a um plano e a interação tem caráter coulombiano ou similar.
Resposta
com
,
,
, e
os polinômios de Laguerre associados.
Contextos de aplicação: impurezas e poços quânticos 2D em semicondutores; excítons em monocamadas (ex.: MoS ); elétrons sobre superfícies (ou átomos adsorvidos); armadilhas ultrafrias fortemente anisotrópicas; modelos teóricos 2D para estudar efeitos de redução dimensional.
Contextos de aplicação: impurezas e poços quânticos 2D em semicondutores; excítons em monocamadas (ex.: MoS