( 2,0 \mathrm{pts} ) Para um átomo de hidrogênio em duas dimensões, a equação de Schrödinger é \left(-\nabla^{2}-2 Z / r\right) \psi=E \psi. Se usarmos coordenadas cilíndricas encontraremos a equação em \Phi(\varphi),
\frac{d^{2} \Phi}{d \varphi^{2}}=m^{2} \Phi
Encontre a equação em R(r) e sua solução. Em que contextos específicos a análise do átomo de hidrogênio em duas dimensões se faz necessária?

Passo 1

O enunciado dá a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio em duas dimensões, na forma
(-\nabla^{2}-2Z/r)\psi = E\psi,
e informa que, ao separar variáveis em coordenadas cilíndricas (polares em 2D), a parte angular satisfaz
\frac{d^{2}\Phi}{d\varphi^{2}} = m^{2}\Phi.
O que a questão pede:
  • Encontrar a equação diferencial para a parte radial R(r).
  • Encontrar a solução para R(r) (autofunções radiais vinculadas aos estados ligados).
  • Dizer em que contextos específicos a análise do átomo de hidrogênio em duas dimensões é necessária.
Informações relevantes fornecidas:
  • Operador laplaciano em 2D será usado em coordenadas polares.
  • A separação de variáveis foi iniciada (com a equação angular dada).
  • Constantes: carga nuclear Z, coordenada radial r, energia E, e parâmetro angular m (vinculado à dependência em \varphi).

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever o laplaciano em coordenadas polares (2D). A fórmula é padrão e precisamos dela para separar a equação. Em 2D:
\nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}.
Explico: o termo \partial^{2}/\partial r^{2} trata da curvatura radial, o termo (1/r)\partial/\partial r aparece por causa da divergência em coordenadas polares, e o termo (1/r^{2})\partial^{2}/\partial \varphi^{2} é a contribuição angular “dividida” por r^{2}.

Passo 3

Usamos separação de variáveis: escrevemos
\psi(r,\varphi)=R(r)\,\Phi(\varphi).
Substituindo na equação dada (- \nabla^{2} - 2Z/r)\psi = E\psi e dividindo por R\Phi obtemos (fazendo as contas com o laplaciano acima)
\frac{R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)}{R(r)}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} + 2\frac{Z}{r} + E = 0.
Agora isolo a parte que depende somente de \varphi: como o segundo termo depende somente de \varphi (multiplicado por 1/r^{2}), a separação exige que
\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} = \text{constante} = -m^{2},
ou seja a equação angular física correta é
\frac{d^{2}\Phi}{d\varphi^{2}} = -m^{2}\Phi,
com m inteiro (explico por quê no próximo passo). Observação: o enunciado deu \Phi'' = m^{2}\Phi — isso produziria soluções exponenciais em \varphi e violaria a periodicidade em \varphi (a função de onda deve satisfazer \Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi)), portanto o sinal físico correto é o negativo acima; é comum o enunciado ter um sinal trocado, e aqui corrigimos com fundamento físico (periodicidade angular). As soluções são \Phi(\varphi)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i m\varphi} com m\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Com \Phi''=-m^{2}\Phi (e m inteiro), substituímos de volta e obtemos a equação radial. A equação resultante é
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r) + \left(E + \frac{2Z}{r} - \frac{m^{2}}{r^{2}}\right)R(r) = 0.
Esta é a equação radial que nós buscávamos. Aqui:
  • R'' é a segunda derivada de R em r,
  • R' é a primeira derivada,
  • o termo -m^{2}/r^{2} vem da separação angular (efeito centrífugo em 2D),
  • 2Z/r é o potencial coulombiano em 2D com as unidades adotadas pelo enunciado,
  • E é a energia.

Passo 5

Queremos resolver essa equação para estados ligados (energia E<0). É prática comum definir
E = -\kappa^{2},\qquad \kappa>0,
e mudar de variável para tornar a equação numa forma conhecida. Definimos a variável adimensional
\rho = 2\kappa r.
Substituindo r=\rho/(2\kappa) e fazendo a transformação de derivadas ( d/dr = 2\kappa\, d/d\rho ), a equação radial transforma-se em
\rho^{2}\frac{d^{2}R}{d\rho^{2}} + \rho\frac{dR}{d\rho} + \Big(-\frac{\rho^{2}}{4} + \frac{Z}{\kappa}\,\rho - m^{2}\Big)R = 0.
Este passo é cálculo mecânico de mudança de variável; o objetivo é colocar a equação numa forma que admita a técnica padrão de fatoração assintótica.

Passo 6

Analise do comportamento em r\to 0 e r\to\infty (essencial para escolher a forma de solução):
  • Perto de r=0 (ou \rho\to 0) espera-se R(\rho)\sim \rho^{|m|} para que R seja finito (evitar singularidade mais forte).
  • Para \rho\to\infty (ou r\to\infty), pela presença do termo -\rho^{2}/4 a solução deve decair como e^{-\rho/2} para ser normalizável (estado ligado).
Portanto tentamos a ansatz padrão
R(\rho) = \rho^{|m|} e^{-\rho/2} F(\rho),
onde F(\rho) é uma função que deve ser regular em 0 e comportar-se polinomialmente (para que a solução não exploda no infinito).

Passo 7

Substituindo R(\rho)=\rho^{l}e^{-\rho/2}F(\rho) com l=|m| na equação do Passo 5 e simplificando (faça as contas passo a passo se quiser conferir), obtemos a equação de Kummer (confluent hypergeometric) para F(\rho):
\rho F''(\rho) + \big(2l+1 - \rho\big)F'(\rho) + \Big(\frac{Z}{\kappa} - l - \tfrac{1}{2}\Big)F(\rho) = 0.
Esta é a equação padrão cujo tipo de solução geral é a função confluent hypergeometric {}_1F_{1}(a;b;\rho) (também chamada M(a,b,\rho) de Kummer). Identificando com a forma canônica, temos os parâmetros
b = 2l+1 = 2|m|+1,\qquad a = l+\tfrac{1}{2}-\frac{Z}{\kappa}.

Passo 8

Condicionamento para estados ligados: queremos R(\rho) normalizável em [0,\infty). A função {}_1F_{1}(a;b;\rho) cresce exponencialmente para \rho\to\infty a menos que a seja um inteiro não positivo, a=-n_{r} com n_{r}=0,1,2,\dots. Essa condição transforma {}_1F_{1} numa combinação polinomial proporcional ao polinômio de Laguerre associado L_{n_{r}}^{(2l)}(\rho). Assim a condição de quantização é
l+\tfrac{1}{2}-\frac{Z}{\kappa} = -n_{r}\quad\Longrightarrow\quad \frac{Z}{\kappa} = n_{r}+l+\tfrac{1}{2},
onde n_{r}=0,1,2,\dots é o número quântico radial e l=|m|.
Daí obtemos \kappa = \dfrac{Z}{n_{r}+|m|+\tfrac{1}{2}} e, lembrando E=-\kappa^{2}, as energias dos estados ligados são
E_{n_{r},m} = -\frac{Z^{2}}{\big(n_{r}+|m|+\tfrac{1}{2}\big)^{2}}.
Note que, diferente do caso 3D, aparece a meia unidade 1/2 deslocando os níveis em 2D.

Passo 9

Expressão explícita das autofunções radiais. Com \rho = 2\kappa r e usando a redução de {}_1F_{1}(-n_{r};2l+1;\rho) para polinômios de Laguerre associados, a solução radial (normalização N deixamos simbólica) fica
R_{n_{r},m}(r) = N\, (2\kappa r)^{|m|} e^{-\kappa r}\; L_{n_{r}}^{(2|m|)}\big(2\kappa r\big),
onde L_{n}^{(\alpha)}(x) é o polinômio de Laguerre associado. O fator N é determinado impondo a normalização
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\infty} |\psi|^{2} r\,dr\,d\varphi = 1,
isto é, \int_{0}^{\infty} |R_{n_{r},m}(r)|^{2} r\,dr = 1 quando |\Phi|^{2} está normalizada em \varphi. Escrevendo explicitamente a solução completa (incluindo a dependência angular):
\psi_{n_{r},m}(r,\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,R_{n_{r},m}(r)\,e^{i m\varphi}.

Passo 10

Resumo físico e justificativa das escolhas: por que m inteiro e por que a=-n_{r}?
  • A condição \Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi) força m\in\mathbb{Z} e, com isso, a angular \Phi é \exp(i m\varphi)/\sqrt{2\pi}.
  • A condição a=-n_{r} garante que a função confluent hypergeometric não exploda no infinito e torne R normalizável, levando aos polinômios de Laguerre e à quantização discreta das energias.

Passo 11

Contextos e aplicações específicas em que o átomo de hidrogênio em duas dimensões é necessário ou útil (lista de exemplos concretos):
  • Física de estados bidimensionais em semicondutores: modelos de impurezas (doadores/aceptores) confinadas em poços quânticos ou heteroestruturas 2D.
  • Excítons em materiais bidimensionais (como dicalcogenetos de metais de transição: MoS _2, WS _2), onde o problema efetivo é 2D e o potencial coulombiano leva a espectros semelhantes ao hidrogênio 2D.
  • Elétrons presos em superfícies (p.ex. elétrons sobre hélio líquido) e átomos adsorvidos em superfícies onde o movimento efetivo é bidimensional.
  • Modelos teóricos simplificados (pedagógicos) para estudar efeitos de redução dimensional em problemas de estrutura eletrônica e correlações quânticas.
  • Gases de átomos ultrafrios confinados em armadilhas fortemente anisotrópicas, produzindo movimento essencialmente 2D; em alguns regimes o par atraente entre partículas pode ser aproximado por um potencial coulombiano efetivo.
    Esses contextos são todos situações físicas em que a mobilidade efetiva é restrita a um plano e a interação tem caráter coulombiano ou similar.

Resposta

\text{Equação radial:}\qquad R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)+\Big(E+\frac{2Z}{r}-\frac{m^{2}}{r^{2}}\Big)R(r)=0.çã
\text{Solução (estados ligados):}\qquad R_{n_{r},m}(r)=N\,(2\kappa r)^{|m|}e^{-\kappa r}\;L_{n_{r}}^{(2|m|)}(2\kappa r),çã
com \kappa=\dfrac{Z}{n_{r}+|m|+\tfrac{1}{2}}, E_{n_{r},m}=-\dfrac{Z^{2}}{(n_{r}+|m|+\tfrac{1}{2})^{2}}, n_{r}=0,1,2,\dots, e L_{n}^{(\alpha)} os polinômios de Laguerre associados.
Contextos de aplicação: impurezas e poços quânticos 2D em semicondutores; excítons em monocamadas (ex.: MoS _2); elétrons sobre superfícies (ou átomos adsorvidos); armadilhas ultrafrias fortemente anisotrópicas; modelos teóricos 2D para estudar efeitos de redução dimensional.

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