Com auxílio de logaritmos, calcule os limites, utilizando a regra de L’Hospital se preferir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \to 0}\bigl(e^{x}+x\bigr)^{\frac{1}{x}}.
Trata-se de uma forma indeterminada 1^\infty, então vamos usar logaritmos e a regra de L’Hospital.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x \to 0}\bigl(e^{x}+x\bigr)^{\frac{1}{x}}.
Tomando logaritmo natural, obtemos
\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{\ln\bigl(e^{x}+x\bigr)}{x}.

Passo 3

Ao fazer x\to0, o numerador tende a \ln(1)=0 e o denominador a 0, gerando 0/0. Aplicamos a regra de L’Hospital:
\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}\bigl[\ln(e^{x}+x)\bigr]}{\frac{d}{dx}[x]} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.

Passo 4

Avalia-mos o limite da fração:
\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x} = \frac{e^{0}+1}{e^{0}+0} = \frac{1+1}{1} = 2.
Portanto \ln L = 2.

Passo 5

Elevando exponencialmente, concluímos
L = e^2.

Resposta

e^2

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