Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral
onde C é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral de linha usando o Teorema de Green. O problema pede para calcular a integral
, onde
é um quadrado no primeiro quadrante limitado pelas retas
e
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
em uma integral dupla sobre a região
que
envolve. A fórmula do teorema é:
No nosso caso, a integral está na forma
, onde:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos definir a região
sobre a qual vamos integrar. Como
é um quadrado no primeiro quadrante limitado por
e
, os limites de integração são de
a
e de
a
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 6
Resolvendo a última integral:
Resposta
A integral
vale
.