Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral integralC x y d y-y^2 d x onde C é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x=1 e y=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral de linha usando o Teorema de Green. O problema pede para calcular a integral integralC x y , dy - y^2 , dx, onde C é um quadrado no primeiro quadrante limitado pelas retas x=1 e y=1. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva C.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C em uma integral dupla sobre a região D que C envolve. A fórmula do teorema é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
No nosso caso, a integral está na forma integralC P , dx + Q , dy, onde:
P = -y^2 e Q = xy

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (xy)partial x = y
partial Ppartial y = partial (-y^2)partial y = -2y
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy = integral duplaD (y - (-2y)) , dx , dy = integral duplaD 3y , dx , dy

Passo 4

Agora, precisamos definir a região D sobre a qual vamos integrar. Como C é um quadrado no primeiro quadrante limitado por x=1 e y=1, os limites de integração são de x = 0 a x = 1 e de y = 0 a y = 1.
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 3y , dx , dy = integral0^1 integral0^1 3y , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integral0^1 3y , dx = 3y integral0^1 dx = 3y [x]0^1 = 3y (1 - 0) = 3y
Agora, substituímos na integral externa:
integral0^1 3y , dy

Passo 6

Resolvendo a última integral:
integral0^1 3y , dy = 3 integral0^1 y , dy = 3 [ y^22 ]0^1 = 3 ( 12 - 0 ) = 32

Resposta

A integral integralC x y , dy - y^2 , dx vale 32.

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