Resolver as inequeções modulares em R :
|3 x+2|-|2 x-1|>x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação com valores absolutos
|3x+2| - |2x-1| > x+1
O conteúdo principal aqui é a resolução de inequações modulares por análise de casos, usando os pontos em que os argumentos dos valores absolutos mudam de sinal.

Passo 2

Identificamos os zeros dos argumentos:
3x+2=0 implies x=-tfrac23, 2x-1=0 implies x=tfrac12
Então dividimos o eixo real em três intervalos:
(-infty,-tfrac23), (-tfrac23,tfrac12), (tfrac12,infty)

Passo 3

Caso x<-tfrac23. Aqui 3x+2<0 e 2x-1<0, então
|3x+2|= -3x-2, |2x-1|=-2x+1
A inequação fica
(-3x-2)-(-2x+1)>x+1
-3x-2+2x-1> x+1
- x -3> x+1
-2x>4
x< -2
Como também exigimos x<-tfrac23, a solução neste caso é
x< -2

Passo 4

Caso -tfrac23<= x<tfrac12. Aqui 3x+2>=0 e 2x-1<0, logo
|3x+2|=3x+2, |2x-1|=-2x+1
A inequação torna-se
(3x+2)-(-2x+1)>x+1
5x+1> x+1
4x>0
x>0
Intersecando com -tfrac23<= x<tfrac12 obtemos
0<x<tfrac12

Passo 5

Caso x>=tfrac12. Aqui 3x+2>=0 e 2x-1>=0, então
|3x+2|=3x+2, |2x-1|=2x-1
e a inequação é
(3x+2)-(2x-1)>x+1
x+3> x+1
3>1,
que é sempre verdadeira. Logo todos x>=tfrac12 são solução.

Passo 6

Agora unimos as soluções dos três casos:
x< -2, 0<x<tfrac12, x>=tfrac12
Como (0,tfrac12)cup[tfrac12,infty)=(0,infty), a solução final é
(-infty,-2);cup;(0,infty)

Resposta

(-infty,-2);cup;(0,infty)

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