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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! O enunciado pede para a gente encontrar o divergente de um campo vetorial $ F(x, y, z) = x y^{2} z^{4} , \mathbf{i} + \left(2 x^{2} y + z\right) , \mathbf{j} + y^{3} z^{2} , \mathbf{k} $. Vamos usar o conceito de divergente, que é uma medida de como o campo vetorial “espalha” ou “converge” em um ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais das componentes de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ e somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o divergente de um campo vetorial $ F = F_x , \mathbf{i} + F_y , \mathbf{j} + F_z , \mathbf{k} $ é dado por:
Então, precisamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial F_x}{\partial x} $:
Derivando em relação a $ x $:
Pois a derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1, então fica só $ y^{2} z^{4} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial F_y}{\partial y} $:
Derivando em relação a $ y $:
A derivada de $ 2 x^{2} y $ em relação a $ y $ é $ 2 x^{2} $ e a derivada de $ z $ em relação a $ y $ é 0, pois $ z $ é uma constante em relação a $ y $.
Passo 5
Por último, vamos calcular $ \frac{\partial F_z}{\partial z} $:
Derivando em relação a $ z $:
Aqui, a derivada de $ z^{2} $ em relação a $ z $ é $ 2 z $, então multiplicamos por $ y^{3} $.
Resposta
Somando todas as derivadas parciais, temos:
Então, o divergente de $ F $ é $ y^{2} z^{4} + 2 x^{2} + 2 y^{3} z $.