Avaliação 3 (Valor: 10 p (s)
Em baixas velocidades (fluxo laminar), o fluxo de volume Q através de um tubo de pequeno diâmetro é uma função somente do raio do tubo R, da viscosidade do fluido mu e da queda de pressão por unidade de comprimento do tubo dp/dy. Usando o teorema Pi, encontre uma relação adimensional apropriada.
(Dica: utilize dp/dx como uma variável com unidade de pessão sobre unidade de comprimento.)

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão pede é usar o Teorema Π (Buckingham) pra achar uma relação adimensional envolvendo o fluxo de volume Q, o raio do tubo R, a viscosidade μ e a queda de pressão por comprimento dp/dx. Ou seja, é análise dimensional básica em escoamento laminar. Vamos precisar das dimensões de cada variável e do próprio Teorema Π para montar nosso grupo adimensional.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar rapidinho a ideia do Teorema Π: se você tem N variáveis que descrevem um fenômeno e elas envolvem k dimensões fundamentais (no nosso caso massa M, comprimento L e tempo T), então dá pra formar N–k grupos adimensionais (as famosas Π’s). Cada Π é uma combinação das variáveis de forma que as unidades todos se cancelem.

Passo 3

Listando as variáveis e suas dimensões:
  • Q (vazão volumétrica): [Q] = L³ T⁻¹
  • R (raio do tubo): [R] = L
  • μ (viscosidade dinâmica): [μ] = M L⁻¹ T⁻¹
  • dp/dx (gradiente de pressão): [dp/dx] = (força por área)/comprimento = (M L⁻¹ T⁻²)/L = M L⁻² T⁻²
Temos N = 4 variáveis e k = 3 (M, L, T), logo vamos formar 4–3 = 1 grupo Π.

Passo 4

Escolhemos 3 variáveis repetidas que cubram M, L e T separadamente. Uma escolha típica é R, μ e dp/dx. A ideia é escrever o Π envolvendo a variável restante (Q) vezes as repetidas elevadas a expoentes a, b, c:
Pi = Q^1,R^a,mu^b,(dp/dx)^c
e achar a, b, c para que Π fique sem dimensão.

Passo 5

Montamos as equações para as dimensões M, L, T:
  1. M: 0 (de Q) + 0·a + 1·b + 1·c = 0
  2. L: 3 (de Q) + 1·a + (−1)·b + (−2)·c = 0
  3. T: −1 (de Q) + (−1)·b + (−2)·c = 0
Da equação M: b + c = 0 ⇒ b = −c.
Da equação T: −1 − b − 2c = 0 ⇒ −1 − (−c) − 2c = 0 ⇒ −1 + c − 2c = 0 ⇒ c = −1 ⇒ b = 1.
Da equação L: 3 + a − b − 2c = 0 ⇒ 3 + a − 1 −2(−1) = 0 ⇒ 3 + a −1 +2 = 0 ⇒ a +4 = 0 ⇒ a = −4.
Então
Pi = Q,R^-4,mu^1,(dp/dx)^-1 = mu,QR^4,(dp/dx)

Resposta

A relação adimensional apropriada é
boxedPi ;=;mu,QR^4,l(dp/dxr) ;=;constante

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