Avaliação 3 (Valor: 10 p (s)
Em baixas velocidades (fluxo laminar), o fluxo de volume
através de um tubo de pequeno diâmetro é uma função somente do raio do tubo
, da viscosidade do fluido
e da queda de pressão por unidade de comprimento do tubo dp/dy. Usando o teorema Pi, encontre uma relação adimensional apropriada.
(Dica: utilize dp/dx como uma variável com unidade de pessão sobre unidade de comprimento.)
Em baixas velocidades (fluxo laminar), o fluxo de volume
(Dica: utilize dp/dx como uma variável com unidade de pessão sobre unidade de comprimento.)
Passo 1
Beleza, aqui o que a questão pede é usar o Teorema Π (Buckingham) pra achar uma relação adimensional envolvendo o fluxo de volume Q, o raio do tubo R, a viscosidade μ e a queda de pressão por comprimento dp/dx. Ou seja, é análise dimensional básica em escoamento laminar. Vamos precisar das dimensões de cada variável e do próprio Teorema Π para montar nosso grupo adimensional.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar rapidinho a ideia do Teorema Π: se você tem N variáveis que descrevem um fenômeno e elas envolvem k dimensões fundamentais (no nosso caso massa M, comprimento L e tempo T), então dá pra formar N–k grupos adimensionais (as famosas Π’s). Cada Π é uma combinação das variáveis de forma que as unidades todos se cancelem.
Passo 3
Listando as variáveis e suas dimensões:
- Q (vazão volumétrica): [Q] = L³ T⁻¹
- R (raio do tubo): [R] = L
- μ (viscosidade dinâmica): [μ] = M L⁻¹ T⁻¹
- dp/dx (gradiente de pressão): [dp/dx] = (força por área)/comprimento = (M L⁻¹ T⁻²)/L = M L⁻² T⁻²
Temos N = 4 variáveis e k = 3 (M, L, T), logo vamos formar 4–3 = 1 grupo Π.
Passo 4
Escolhemos 3 variáveis repetidas que cubram M, L e T separadamente. Uma escolha típica é R, μ e dp/dx. A ideia é escrever o Π envolvendo a variável restante (Q) vezes as repetidas elevadas a expoentes a, b, c:
e achar a, b, c para que Π fique sem dimensão.
Passo 5
Montamos as equações para as dimensões M, L, T:
- M: 0 (de Q) + 0·a + 1·b + 1·c = 0
- L: 3 (de Q) + 1·a + (−1)·b + (−2)·c = 0
- T: −1 (de Q) + (−1)·b + (−2)·c = 0
Da equação M: b + c = 0 ⇒ b = −c.
Da equação T: −1 − b − 2c = 0 ⇒ −1 − (−c) − 2c = 0 ⇒ −1 + c − 2c = 0 ⇒ c = −1 ⇒ b = 1.
Da equação L: 3 + a − b − 2c = 0 ⇒ 3 + a − 1 −2(−1) = 0 ⇒ 3 + a −1 +2 = 0 ⇒ a +4 = 0 ⇒ a = −4.
Da equação T: −1 − b − 2c = 0 ⇒ −1 − (−c) − 2c = 0 ⇒ −1 + c − 2c = 0 ⇒ c = −1 ⇒ b = 1.
Da equação L: 3 + a − b − 2c = 0 ⇒ 3 + a − 1 −2(−1) = 0 ⇒ 3 + a −1 +2 = 0 ⇒ a +4 = 0 ⇒ a = −4.
Então
Resposta
A relação adimensional apropriada é