Considere as seguintes equações tridimensionais estáveis campo de velocidade em coordenadas cartesianas:
V=(u, v, w)=(a x y^2-b) i-2 c y^3 j+d x y k
onde a, b, c e d são constantes. Em que condições esse campo de fluxo é incompressível?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: a gente tem um campo de velocidade em 3D, em coordenadas cartesianas, dado por
vec V = (u,v,w) = l(a,x,y^2 - br),vec i ;-;2c,y^3,vec j ;+; d,x,y,vec k,
com constantes. A pergunta é: em que condições esse fluxo é incompressível?
Matematicamente, isso envolve cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de divergência. Para ser incompressível, precisamos que .

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de divergência em coordenadas cartesianas:
nablacdotvec V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z
A ideia é calcular cada derivada parcial e somar tudo. Se o resultado for zero (para qualquer valor de ), o fluxo é incompressível.

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais:
  1. partial upartial x = a,y^2 .
    • partial vpartial y = -6c,y^2 é constante, some zero.
    • partial wpartial z = 0 em relação a .
      Logo
  2. .
    • Derivada de é .
      Então
  3. .
    • não depende de , então a derivada é zero.

Passo 4

Agora somamos tudo:
nablacdotvec V = a,y^2 + l(-6c,y^2r) + 0 = l(a - 6cr),y^2
Para o fluxo ser incompressível, queremos a - 6c = 0 para todo . Como nem sempre é zero, o fator que manda é

Resposta

O campo de velocidade é incompressível se, e somente se,
boxeda = 6,c

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