Considere as seguintes equações tridimensionais estáveis campo de velocidade em coordenadas cartesianas:
onde a, b, c e d são constantes. Em que condições esse campo de fluxo é incompressível?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: a gente tem um campo de velocidade em 3D, em coordenadas cartesianas, dado por
com
constantes. A pergunta é: em que condições esse fluxo é incompressível?
Matematicamente, isso envolve cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de divergência. Para ser incompressível, precisamos que .
Matematicamente, isso envolve cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de divergência. Para ser incompressível, precisamos que
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de divergência em coordenadas cartesianas:
A ideia é calcular cada derivada parcial e somar tudo. Se o resultado for zero (para qualquer valor de
), o fluxo é incompressível.
Passo 3
Vamos achar as derivadas parciais:
-
. -
é constante, some zero. -
em relação a dá .
Logo
-
-
. - Derivada de
é .
Então
- Derivada de
-
. -
não depende de , então a derivada é zero.
-
Passo 4
Agora somamos tudo:
Para o fluxo ser incompressível, queremos
para todo
. Como
nem sempre é zero, o fator que manda é
Resposta
O campo de velocidade é incompressível se, e somente se,