Uma junta de termopar que pode ser aproximada por uma esfera, é usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa. O coeficiente convectivo entre a superfície da junta e o gás é igual a h=400 W /(m^2 K) e as propriedades termofísicas da junta são k=20 W /(m K), c=400 J /(kg K) e rho=8500 kg / m^3. Considere a troca de calor por radiação com as paredes do duto que confina a corrente gasosa. Com as paredes do duto a 400^circ C e a emissividade da junta do termopar de 0,9 . Calcule a temperatura da junta no regime estacionário. Também determine o tempo para a temperatura da junta aumentar de sua condição inicial a 25^circ C até uma temperatura que está a 1^circ C do valor no regime estacionário.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente precisa pra resolver.
Enunciado resumido:
  • Temos uma “bola” (a junta do termopar) imersa num gás em movimento.
  • Há troca de calor por convecção (coeficiente ) e por radiação com as paredes do duto (paredes a , emissividade ).
  • As propriedades do metal da bola são , , .
    Precisamos:
  1. Temperatura da esfera no regime estacionário ( ).
  2. Tempo para a temperatura da esfera ir de até .
Para isso vamos usar:
  • Balanço de energia no estado estacionário (convecção + radiação = 0).
  • Método da capacitância concentrada para o transiente (cilcular o ODE e achar a constante de tempo).
Antes de começar, note que precisamos saber duas coisas que não foram dadas:
a) Temperatura do gás .
b) O raio (ou diâmetro) da esfera .
Sem esses valores não dá pra extrair número. Então a gente vai montar as fórmulas gerais, e aí, quando você tiver e , é só colocar e calcular!

Passo 2

Estado estacionário:
A gente faz o balanço de potências (não tem acúmulo de energia):
dot Qconv + dot Qrad = 0
  1. Convecção:
dot Qconv = h,A,(Tinfty - Ts)
  1. Radiação (esfera troca com parede a dot Qrad = varepsilon,sigma,A,(Tw^4 - Ts^4)):
h,A,(Tinfty - Ts);+;varepsilon,sigma,A,(Tw^4 - Ts^4);=;0
Então:
h,(Tinfty - Ts) ;=; varepsilon,sigma;l(Ts^4 - Tw^4r)
Como , simplifica:
Isso é uma equação implícita em . Dado , você resolve numericamente (por exemplo, Método de Newton–Raphson) para encontrar .

Passo 3

Constante de tempo no regime transiente (lumped capacitance):
A equação diferencial de energia é
[
\rho,c,V,\frac{dT}{dt}

h,A,(T_\infty - T)
;+;
\varepsilon,\sigma,A,(T_w^4 - T^4).
]
Em geral a radiação é não‐linear, mas perto de rho,c,V,dTdt = h,A,(Tinfty - T) ;+; varepsilon,sigma,A,(Tw^4 - T^4) dá pra linearizar:
dot Qradapprox varepsilon,sigma,A;4,Ts^3,(Tw - T) ;equiv; h!r,A,(Tw - T)
com rho,c,V,dTdt = hrm total,A,(Tinfty^* - T), .
Aí mistura com convecção e define tau = rho,c,Vhrm total,A .
Fica
[
\rho,c,V,\frac{dT}{dt}

h_{\rm total},A,(T_\infty^{*} - T),
]
onde V=tfrac43pi r^3, A=4pi r^2, é uma temperatura “combinada” do gás e da parede (mas se você quiser pode manter separado).
A solução clássica dá uma constante de tempo
[
\tau

\frac{\rho,c,V}{h_{\rm total},A}.
]
Para esfera de raio tau = rho,c,(4/3)pi r^3(h+4,varepsilon,sigma,Ts^3),4pi r^2 = rho,c,r3,(h+4,varepsilon,sigma,Ts^3) :

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[
\tau

\frac{\rho,c,(4/3)\pi r3}{(h+4,\varepsilon,\sigma,T_s3),4\pi r^2}

\frac{\rho,c,r}{3,(h+4,\varepsilon,\sigma,T_s^3)}.
]

Passo 4

Tempo para chegar a T(t) = Tinfty^* -l(Tinfty^*-Tir)e^-t/tau saindo de Ts-1 = Ts -l(Ts - 25r)e^-t/tau Longrightarrow e^-t/tau = 1Ts-25 :

No lumped model (solução exponencial)
[
T(t)

T_\infty^{*}
-\bigl(T_\infty{*}-T_i\bigr)e{-t/\tau}.
]
Se a gente define t = -tau;ln!l(1Ts-25r) = tau;lnl(Ts-25r) (regime estacionário visto pelo modelo linearizado),
queremos . Então
[
T_s-1

T_s
-\bigl(T_s - 25\bigr)e^{-t/\tau}
\quad\Longrightarrow\quad
e^{-t/\tau}

\frac{1}{T_s-25}.
]
Isolando :
[
t

-\tau;\ln!\Bigl(\frac{1}{T_s-25}\Bigr)

\tau;\ln\bigl(T_s-25\bigr).
]

Resposta

  1. Temperatura de regime estacionário h,(Tinfty - Ts) = varepsilon,sigma,(Ts^4 - Tw^4) é a raiz da equação implícita

[
h,(T_\infty - T_s)

\varepsilon,\sigma,(T_s^4 - T_w^4).
]
  1. Tempo para chegar a tau = rho,c,r3,[,h+4,varepsilon,sigma,Ts^3,], t = tau;lnl(Ts-25r) partindo de :

[
\tau

\frac{\rho,c,r}{3,[,h+4,\varepsilon,\sigma,T_s^3,]},
\quad
t

\tau;\ln\bigl(T_s-25\bigr).
]
Basta inserir os valores de e , resolver numericamente para e daí calcular e .

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