Uma junta de termopar que pode ser aproximada por uma esfera, é usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa. O coeficiente convectivo entre a superfície da junta e o gás é igual a
e as propriedades termofísicas da junta são
,
e
. Considere a troca de calor por radiação com as paredes do duto que confina a corrente gasosa. Com as paredes do duto a
e a emissividade da junta do termopar de 0,9 . Calcule a temperatura da junta no regime estacionário. Também determine o tempo para a temperatura da junta aumentar de sua condição inicial a
até uma temperatura que está a
do valor no regime estacionário.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente precisa pra resolver.
Enunciado resumido:
Enunciado resumido:
- Temos uma “bola” (a junta do termopar) imersa num gás em movimento.
- Há troca de calor por convecção (coeficiente
) e por radiação com as paredes do duto (paredes a , emissividade ). - As propriedades do metal da bola são
, , .
Precisamos:
- Temperatura da esfera no regime estacionário (
). - Tempo para a temperatura da esfera ir de
até .
Para isso vamos usar:
- Balanço de energia no estado estacionário (convecção + radiação = 0).
- Método da capacitância concentrada para o transiente (cilcular o ODE e achar a constante de tempo).
Antes de começar, note que precisamos saber duas coisas que não foram dadas:
a) Temperatura do gás .
b) O raio (ou diâmetro) da esfera .
a) Temperatura do gás
b) O raio (ou diâmetro) da esfera
Sem esses valores não dá pra extrair número. Então a gente vai montar as fórmulas gerais, e aí, quando você tiver
e
, é só colocar e calcular!
Passo 2
Estado estacionário:
A gente faz o balanço de potências (não tem acúmulo de energia):
A gente faz o balanço de potências (não tem acúmulo de energia):
- Convecção:
- Radiação (esfera troca com parede a
):
Então:
Como
, simplifica:
Isso é uma equação implícita em
. Dado
, você resolve numericamente (por exemplo, Método de Newton–Raphson) para encontrar
.
Passo 3
Constante de tempo no regime transiente (lumped capacitance):
A equação diferencial de energia é
[
\rho,c,V,\frac{dT}{dt}
h,A,(T_\infty - T)
;+;
\varepsilon,\sigma,A,(T_w^4 - T^4).
]
Em geral a radiação é não‐linear, mas perto de
dá pra linearizar:
com
.
Aí mistura com convecção e define
.
Fica
[
\rho,c,V,\frac{dT}{dt}
h_{\rm total},A,(T_\infty^{*} - T),
]
onde
é uma temperatura “combinada” do gás e da parede (mas se você quiser pode manter separado).
A solução clássica dá uma constante de tempo
[
\tau
\frac{\rho,c,V}{h_{\rm total},A}.
]
Para esfera de raio
:
logo
[
\tau
\frac{\rho,c,(4/3)\pi r3}{(h+4,\varepsilon,\sigma,T_s3),4\pi r^2}
\frac{\rho,c,r}{3,(h+4,\varepsilon,\sigma,T_s^3)}.
]
]
Passo 4
Tempo para chegar a
saindo de
:
No lumped model (solução exponencial)
[
T(t)
T_\infty^{*}
-\bigl(T_\infty{*}-T_i\bigr)e{-t/\tau}.
]
Se a gente define
(regime estacionário visto pelo modelo linearizado),
queremos
. Então
[
T_s-1
T_s
-\bigl(T_s - 25\bigr)e^{-t/\tau}
\quad\Longrightarrow\quad
e^{-t/\tau}
\frac{1}{T_s-25}.
]
Isolando
:
[
t
-\tau;\ln!\Bigl(\frac{1}{T_s-25}\Bigr)
\tau;\ln\bigl(T_s-25\bigr).
]
]
Resposta
- Temperatura de regime estacionário
é a raiz da equação implícita
[
h,(T_\infty - T_s)
\varepsilon,\sigma,(T_s^4 - T_w^4).
]
]
- Tempo para chegar a
partindo de :
[
\tau
\frac{\rho,c,r}{3,[,h+4,\varepsilon,\sigma,T_s^3,]},
\quad
t
\tau;\ln\bigl(T_s-25\bigr).
]
]
Basta inserir os valores de
e
, resolver numericamente para
e daí calcular
e
.