Avaliar a convergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n^{2}+1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}}\right).
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \ln\!\left(\dfrac{n^{2}+1}{n^{2}}\right) para n=1,2,\dots.
  • A pergunta é apenas sobre convergência (se converge ou diverge, e que tipo de convergência).

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral para uma forma mais conveniente:
\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{n^{2}}\right) = \ln\!\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right),
porque \dfrac{n^{2}+1}{n^{2}} = 1 + \dfrac{1}{n^{2}}. Essa forma é mais fácil de comparar com séries conhecidas.

Passo 3

Vamos entender o comportamento do termo \ln\!\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right) quando n cresce:
  • Para todo n\ge1 temos 1/n^{2}>0, logo \ln\!\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)>0. Então os termos são positivos.
  • Como \dfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty e a função \ln(1+x) é contínua em x=0, segue que
\lim_{n\to\infty}\ln\!\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)=\ln(1+0)=0.
Portanto os termos tendem a zero (condição necessária para convergência).

Passo 4

Agora vamos comparar com uma série p conhecida. Usamos a desigualdade clássica (fácil de provar via a função g(x)=\ln(1+x)-x): para todo x>-1 vale
\ln(1+x)\le x.
Aplicando com x=\dfrac{1}{n^{2}}>0, obtemos, para todo n\ge1,
0<\ln\!\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\le\frac{1}{n^{2}}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é a famosa série p com p=2>1, portanto converge.

Passo 5

Pelo teste da comparação (comparando termos positivos), se 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge então \sum a_n também converge. Aqui a_n=\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right) e b_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)
converge. Como os termos são não negativos, a convergência é também absoluta (não há diferença entre convergência e convergência absoluta para termos não negativos, mas isso enfatiza que não há alternância de sinais).

Passo 6

Como alternativa (útil para intuição), pode-se usar o limite equivalente para x\to0:
\ln(1+x)\sim x,
isto é \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1. Tomando x=1/n^{2} obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+1/n^{2})}{1/n^{2}}=1,
logo por teste da comparação limite a série tem o mesmo comportamento da série \sum 1/n^{2} e portanto converge.

Passo 7

(Observação extra — não pedida, apenas curiosidade) Existe uma fórmula fechada para o valor da soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right) =\ln\!\left(\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\right) =\ln\!\left(\frac{\operatorname{sinh} \pi}{\pi}\right).
Essa identidade vem do produto infinito associado à função seno, aplicando z=i na identidade de Euler para \sin(\pi z). Mas isso é informação adicional — a questão original pedia apenas convergência.

Resposta

Converge absolutamente.

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