Avaliar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a convergência da série
Informações dadas:
- O termo geral da série é
para . - A pergunta é apenas sobre convergência (se converge ou diverge, e que tipo de convergência).
Passo 2
Primeiro simplificamos o termo geral para uma forma mais conveniente:
porque
. Essa forma é mais fácil de comparar com séries conhecidas.
Passo 3
Vamos entender o comportamento do termo
quando
cresce:
- Para todo
temos , logo . Então os termos são positivos. - Como
quando e a função é contínua em , segue que
Portanto os termos tendem a zero (condição necessária para convergência).
Passo 4
Agora vamos comparar com uma série p conhecida. Usamos a desigualdade clássica (fácil de provar via a função
): para todo
vale
Aplicando com
, obtemos, para todo
,
A série
é a famosa série p com
, portanto converge.
Passo 5
Pelo teste da comparação (comparando termos positivos), se
e
converge então
também converge. Aqui
e
. Assim
converge. Como os termos são não negativos, a convergência é também absoluta (não há diferença entre convergência e convergência absoluta para termos não negativos, mas isso enfatiza que não há alternância de sinais).
Passo 6
Como alternativa (útil para intuição), pode-se usar o limite equivalente para
:
isto é
. Tomando
obtemos
logo por teste da comparação limite a série tem o mesmo comportamento da série
e portanto converge.
Passo 7
(Observação extra — não pedida, apenas curiosidade) Existe uma fórmula fechada para o valor da soma:
Essa identidade vem do produto infinito associado à função seno, aplicando
na identidade de Euler para
. Mas isso é informação adicional — a questão original pedia apenas convergência.
Resposta
Converge absolutamente.