Verifique, em cada um dos seguintes exercícios, se a série dada é convergente. Em caso afirmativo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum \frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1}
converge. Se convergir, classificar se converge absolutamente ou condicionalmente.
  • Informação dada: o termo geral é \dfrac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1}. Podemos identificar que há um fator alternante (-1)^{n} e uma parte positiva b_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+1}.

Passo 2

Testar convergência absoluta: analisar a série dos valores absolutos.
  • A série dos valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
  • Vamos usar o Teste da Comparação Limitada (limit comparison test). Esse teste diz: sejam a_{n}>0 e c_{n}>0. Se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{c_{n}}
com 0<L<\infty, então \sum a_{n} e \sum c_{n} têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
  • Tomamos a_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+1} e c_{n}=\dfrac{1}{n} (a série harmônica \sum \dfrac{1}{n} diverge). Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{c_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^{2}+1}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
  • Avaliando o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1.
Como 1 é finito e positivo, pelo Teste da Comparação Limitada a série \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} tem o mesmo comportamento que a harmônica e, portanto, diverge.

Passo 3

Conclusão sobre convergência absoluta.
  • Como a série dos valores absolutos \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} diverge, a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Testar convergência condicional usando o Critério de Leibniz (série alternante).
  • O Critério de Leibniz (alternating series test) afirma: para uma série da forma \sum (-1)^{n} b_{n} com b_{n}\ge0, se
    1. b_{n} é monótona não crescente a partir de algum n (ou seja, existe N tal que b_{n+1}\le b_{n} para todo n\ge N), e
    2. \lim_{n\to\infty} b_{n}=0,
      então a série converge.
  • Aqui tomamos b_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+1}. Precisamos verificar as duas condições acima.

Passo 5

Mostrar que \lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
  • Calculemos o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
Dividindo numerador e denominador por n (ou por n^{2}) dá
\frac{n}{n^{2}+1}=\frac{1}{n+\dfrac{1}{n}},
logo
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\dfrac{1}{n}}=0.
Portanto a condição do limite é satisfeita.

Passo 6

Mostrar que b_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+1} é eventualmente monótona não crescente.
  • Uma forma prática é considerar a função contínua
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1},\qquad x>0,
e estudar sua derivada para verificar monotonicidade em x.
  • Calculando a derivada:
f'(x)=\frac{(1)(x^{2}+1)-x(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
O denominador (x^{2}+1)^{2} é sempre positivo. O numerador 1-x^{2} é negativo quando x>1. Assim, para todo x>1 tem-se f'(x)<0, o que significa que f é estritamente decrescente para x>1.
  • Consequentemente, a sequência b_{n}=f(n) é estritamente decrescente para n\ge2. Também dá para checar numericamente os primeiros termos: b_{1}=1/2, b_{2}=2/5 e b_{2}<b_{1}. Então b_{n} é não crescente a partir de n=1 (na prática, a partir de n=2 já é estritamente decrescente).

Passo 7

Aplicar o Critério de Leibniz e concluir sobre convergência condicional.
  • Verificamos as duas condições do Critério de Leibniz:
    1. b_{n} é eventualmente decrescente (a partir de n=2);
    2. \lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
  • Portanto a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1}
converge.
  • Como já mostramos que não converge absolutamente (Passo 3), a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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