Verifique, em cada um dos seguintes exercícios, se a série dada é convergente. Em caso afirmativo, se absoluta ou condicionalmente. \sum \frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
Pede-se para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1}
converge. Se convergir, classificar se converge absolutamente ou condicionalmente.
Informação dada: o termo geral é \dfrac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1}. Podemos identificar que há um fator alternante (-1)^{n} e uma parte positiva b_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+1}.
Passo 2
Testar convergência absoluta: analisar a série dos valores absolutos.
Como 1 é finito e positivo, pelo Teste da Comparação Limitada a série \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} tem o mesmo comportamento que a harmônica e, portanto, diverge.
Passo 3
Conclusão sobre convergência absoluta.
Como a série dos valores absolutos \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} diverge, a série original não converge absolutamente.
Passo 4
Testar convergência condicional usando o Critério de Leibniz (série alternante).
O Critério de Leibniz (alternating series test) afirma: para uma série da forma \sum (-1)^{n} b_{n} com b_{n}\ge0, se
b_{n} é monótona não crescente a partir de algum n (ou seja, existe N tal que b_{n+1}\le b_{n} para todo n\ge N), e
\lim_{n\to\infty} b_{n}=0,
então a série converge.
Aqui tomamos b_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+1}. Precisamos verificar as duas condições acima.
Passo 5
Mostrar que \lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
Calculemos o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
Dividindo numerador e denominador por n (ou por n^{2}) dá
O denominador (x^{2}+1)^{2} é sempre positivo. O numerador 1-x^{2} é negativo quando x>1. Assim, para todo x>1 tem-se f'(x)<0, o que significa que f é estritamente decrescente para x>1.
Consequentemente, a sequência b_{n}=f(n) é estritamente decrescente para n\ge2. Também dá para checar numericamente os primeiros termos: b_{1}=1/2, b_{2}=2/5 e b_{2}<b_{1}. Então b_{n} é não crescente a partir de n=1 (na prática, a partir de n=2 já é estritamente decrescente).
Passo 7
Aplicar o Critério de Leibniz e concluir sobre convergência condicional.
Verificamos as duas condições do Critério de Leibniz:
b_{n} é eventualmente decrescente (a partir de n=2);
\lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
Portanto a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1}
converge.
Como já mostramos que não converge absolutamente (Passo 3), a convergência é condicional.