Formar a soma das séries
e
. Será ela convergente?
Passo 1
O enunciado dá duas séries infinitas e pede: formar (ou seja, somar) essas duas séries e dizer se a soma é convergente. As séries dadas são:
e
O que se pede concretamente:
- Calcular a soma da série formada pela soma termo a termo das duas séries acima.
- Dizer se essa soma (essa nova série) é convergente.
Informações relevantes fornecidas:
- Cada soma é um somatório sobre
. - Os denominadores envolvem
. - Numeradores envolvem constantes,
e .
Passo 2
Estratégia inicial (explicação didática): é útil primeiro verificar que cada série que aparece converge (assim podemos somá-las termo a termo com segurança). Para somar vamos decompor cada série em somas mais simples que conhecemos bem: séries geométricas do tipo
e séries do tipo
(que também têm fórmula fechada quando
). Vou lembrar e derivar essas fórmulas passo a passo para você poder usar na prova.
Passo 3
Fórmula e derivação da série geométrica (passo didático).
A série geométrica básica é
A série geométrica básica é
e, quando
, essa soma vale
Derivação rápida (sem cálculo): chame a soma de
. Então
e
Subtraindo:
. Logo
. Importante: isso vale somente se
, caso contrário a série não converge.
Passo 4
Fórmula e derivação da série aritmético-geométrica
(passo didático).
Defina
Defina
Multiplique por
:
Subtraindo
de
:
Pelo resultado do passo anterior, quando
a soma à direita é
. Assim
Conclusão: para
,
Essa fórmula mostra também que séries com termo proporcional a
convergem (quando
) e, na verdade, convergem absolutamente.
Passo 5
Aplicando as fórmulas para a primeira série
.
Separe em duas séries:
Separe em duas séries:
Usando a fórmula geométrica com
:
Usando a fórmula
com
:
Somando:
Portanto a primeira série converge e seu valor é
.
Passo 6
Aplicando as fórmulas para a segunda série
.
Separe também:
Separe também:
A primeira soma é geométrica com razão
:
A segunda soma já calculamos no passo anterior:
Portanto
Assim a segunda série converge e vale
.
Passo 7
Somando as duas séries (justificação da soma termo a termo): como cada série converge (na verdade cada uma converge absolutamente, visto que os termos têm decaimento geométrico dominando o fator
), a soma termo a termo é válida e a soma total é a soma dos valores:
Como alternativa rápida (chega ao mesmo resultado): somando diretamente os numeradores termo a termo temos
então a soma total é
Note que quando
é ímpar
; quando
é par
. Para
o termo é
. Assim a soma fica
mesmo resultado.
Passo 8
Conclusão final e observação sobre convergência: ambas as séries originais convergem (cada uma pode ser decomposta em combinações de séries geométricas e séries do tipo
com
), logo a soma termo a termo é válida. A soma formada é convergente e vale
. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia na técnica!
Resposta
Sim — a soma é convergente.