Formar a soma das séries \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{3^{n}} e \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}-n}{3^{n}}. Será ela convergente?

Passo 1

O enunciado dá duas séries infinitas e pede: formar (ou seja, somar) essas duas séries e dizer se a soma é convergente. As séries dadas são:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{3^{n}}
e
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}-n}{3^{n}}.
O que se pede concretamente:
  • Calcular a soma da série formada pela soma termo a termo das duas séries acima.
  • Dizer se essa soma (essa nova série) é convergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada soma é um somatório sobre n=1,2,3,\dots.
  • Os denominadores envolvem 3^{n}.
  • Numeradores envolvem constantes, n e (-1)^{n}.

Passo 2

Estratégia inicial (explicação didática): é útil primeiro verificar que cada série que aparece converge (assim podemos somá-las termo a termo com segurança). Para somar vamos decompor cada série em somas mais simples que conhecemos bem: séries geométricas do tipo \sum r^{n} e séries do tipo \sum n r^{n} (que também têm fórmula fechada quando |r|<1). Vou lembrar e derivar essas fórmulas passo a passo para você poder usar na prova.

Passo 3

Fórmula e derivação da série geométrica (passo didático).
A série geométrica básica é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=r+r^{2}+r^{3}+\cdots,
e, quando |r|<1, essa soma vale
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Derivação rápida (sem cálculo): chame a soma de S. Então
S=r+r^{2}+r^{3}+\cdots
e
rS=r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots.
Subtraindo: (1-r)S=r. Logo S=\dfrac{r}{1-r}. Importante: isso vale somente se |r|<1, caso contrário a série não converge.

Passo 4

Fórmula e derivação da série aritmético-geométrica \sum n r^{n} (passo didático).
Defina
S(r)=\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=1\cdot r+2\cdot r^{2}+3\cdot r^{3}+\cdots.
Multiplique por r:
rS(r)=1\cdot r^{2}+2\cdot r^{3}+3\cdot r^{4}+\cdots.
Subtraindo rS(r) de S(r):
(1-r)S(r)=r + r^{2} + r^{3} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}.
Pelo resultado do passo anterior, quando |r|<1 a soma à direita é \dfrac{r}{1-r}. Assim
(1-r)S(r)=\frac{r}{1-r}\quad\Rightarrow\quad S(r)=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Conclusão: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Essa fórmula mostra também que séries com termo proporcional a n r^{n} convergem (quando |r|<1) e, na verdade, convergem absolutamente.

Passo 5

Aplicando as fórmulas para a primeira série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{3^{n}}.
Separe em duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n}}.
Usando a fórmula geométrica com r=\tfrac{1}{3}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.
Usando a fórmula \sum n r^{n} com r=\tfrac{1}{3}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\left(1-\tfrac{1}{3}\right)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{9}}=\frac{3}{4}.
Somando:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{3^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}.
Portanto a primeira série converge e seu valor é \tfrac{5}{4}.

Passo 6

Aplicando as fórmulas para a segunda série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}-n}{3^{n}}.
Separe também:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}-n}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3^{n}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n}}.
A primeira soma é geométrica com razão r=-\tfrac{1}{3}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{-\tfrac{1}{3}}{1-(-\tfrac{1}{3})}=\frac{-\tfrac{1}{3}}{1+\tfrac{1}{3}}=\frac{-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{3}}=-\frac{1}{4}.
A segunda soma já calculamos no passo anterior:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n}}=\frac{3}{4}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}-n}{3^{n}}=-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-1.
Assim a segunda série converge e vale -1.

Passo 7

Somando as duas séries (justificação da soma termo a termo): como cada série converge (na verdade cada uma converge absolutamente, visto que os termos têm decaimento geométrico dominando o fator n), a soma termo a termo é válida e a soma total é a soma dos valores:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{3^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}-n}{3^{n}}=\frac{5}{4}+(-1)=\frac{1}{4}.
Como alternativa rápida (chega ao mesmo resultado): somando diretamente os numeradores termo a termo temos
\frac{1+n}{3^{n}}+\frac{(-1)^{n}-n}{3^{n}}=\frac{1+(-1)^{n}}{3^{n}},
então a soma total é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+(-1)^{n}}{3^{n}}.
Note que quando n é ímpar 1+(-1)^{n}=0; quando n é par 1+(-1)^{n}=2. Para n=2k o termo é 2/3^{2k}=2/9^{k}. Assim a soma fica
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{9^{k}}=2\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{9}\right)^{k}=2\cdot\frac{\tfrac{1}{9}}{1-\tfrac{1}{9}}=2\cdot\frac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{8}{9}}=2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4},
mesmo resultado.

Passo 8

Conclusão final e observação sobre convergência: ambas as séries originais convergem (cada uma pode ser decomposta em combinações de séries geométricas e séries do tipo \sum n r^{n} com |r|<1), logo a soma termo a termo é válida. A soma formada é convergente e vale \dfrac{1}{4}. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia na técnica!

Resposta

\dfrac{1}{4}
Sim — a soma é convergente.

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