Avalie a independência linear dos seguintes vetores, no correspondente espaço vetorial: \left\{x^{2}+x+1,2 x^{2}-x+3,3 x^{2}+6 x+2\right\} em P_{3}
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de três polinômios do espaço vetorial P_{3}:
\{\,x^{2}+x+1,\;2x^{2}-x+3,\;3x^{2}+6x+2\,\}.
A pergunta é: esses vetores (polinômios) são linearmente independentes ou linearmente dependentes em P_{3}?
Passo 2
Definição básica (explicação didática): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo for a combinação trivial, isto é, se
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0
implica necessariamente \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Caso exista alguma combinação não trivial (alguma \alpha_i diferente de zero) que produza o polinômio nulo, então os vetores são linearmente dependentes.
Aplicando isso ao nosso caso, escrevemos a combinação linear genérica igual ao polinômio zero:
onde a,b,c são escalares (os coeficientes da combinação). O 0 aqui é o polinômio nulo (todo coeficiente igual a zero).
Passo 3
Vamos expandir e agrupar os termos por potências de x. Coletando coeficientes de x^{2}, x e termo constante, obtemos:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^{2}:&\quad a+2b+3c,\\[4pt] \text{coeficiente de }x:&\quad a - b +6c,\\[4pt] \text{termo constante}:&\quad a+3b+2c. \end{aligned}
Como a soma deve ser o polinômio nulo, cada um desses coeficientes deve ser zero. Assim obtemos o sistema linear homogêneo
com t\in\mathbb{R} (ou no corpo de escalares que estiver sendo considerado). Como existe uma solução não-trivial (por exemplo tomar t=1 dá (a,b,c)=(-5,1,1)), concluímos que há combinações lineares não nulas que resultam no polinômio zero.]
Passo 7
Escrevendo a combinação não-trivial obtida com t=1:
o que é fácil de verificar diretamente: o lado esquerdo soma para 5x^{2}+5x+5, que é 5 vezes o primeiro polinômio.
Isto mostra explicitamente que um dos polinômios é combinação linear dos outros (por exemplo x^{2}+x+1=\tfrac{1}{5}\big((2x^{2}-x+3)+(3x^{2}+6x+2)\big)), portanto o conjunto é linearmente dependente.
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes; relação de dependência: -5(x^{2}+x+1)+(2x^{2}-x+3)+(3x^{2}+6x+2)=0.