Avalie a independência linear dos seguintes vetores, no correspondente espaço vetorial:
\left\{x^{2}+x+1,2 x^{2}-x+3,3 x^{2}+6 x+2\right\} em P_{3}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de três polinômios do espaço vetorial P_{3}:
\{\,x^{2}+x+1,\;2x^{2}-x+3,\;3x^{2}+6x+2\,\}.
A pergunta é: esses vetores (polinômios) são linearmente independentes ou linearmente dependentes em P_{3}?

Passo 2

Definição básica (explicação didática): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo for a combinação trivial, isto é, se
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0
implica necessariamente \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Caso exista alguma combinação não trivial (alguma \alpha_i diferente de zero) que produza o polinômio nulo, então os vetores são linearmente dependentes.
Aplicando isso ao nosso caso, escrevemos a combinação linear genérica igual ao polinômio zero:
a\,(x^{2}+x+1)+b\,(2x^{2}-x+3)+c\,(3x^{2}+6x+2)=0,
onde a,b,c são escalares (os coeficientes da combinação). O 0 aqui é o polinômio nulo (todo coeficiente igual a zero).

Passo 3

Vamos expandir e agrupar os termos por potências de x. Coletando coeficientes de x^{2}, x e termo constante, obtemos:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^{2}:&\quad a+2b+3c,\\[4pt] \text{coeficiente de }x:&\quad a - b +6c,\\[4pt] \text{termo constante}:&\quad a+3b+2c. \end{aligned}
Como a soma deve ser o polinômio nulo, cada um desses coeficientes deve ser zero. Assim obtemos o sistema linear homogêneo
\begin{cases} a+2b+3c=0,\\[4pt] a-b+6c=0,\\[4pt] a+3b+2c=0. \end{cases}]

Passo 4

Agora vamos resolver esse sistema. Escrevo a matriz dos coeficientes (linhas correspondem às equações acima):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & -1 & 6\\[4pt] 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}
e faço operações elementares para triangularizar (explico cada operação para você poder reproduzir na prova).
Subtraio a primeira linha das segunda e terceira para eliminar a nessas linhas:
\text{R2} \leftarrow \text{R2}-\text{R1},\qquad \text{R3} \leftarrow \text{R3}-\text{R1},
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & -3 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora elimino o coeficiente abaixo da segunda coluna. Uma combinação útil é somar 3 vezes a terceira linha à segunda linha:
\text{R2} \leftarrow \text{R2}+3\cdot\text{R3}.
Calculando:
(0,\,-3,\,3)+3\cdot(0,\,1,\,-1)=(0,\,0,\,0).
Então a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
após trocar a segunda e terceira linhas para posição conveniente (ou simplesmente observar que a terceira linha dá b-c=0).]

Passo 6

Das linhas não nulas extraímos as equações:
\begin{aligned} & a+2b+3c=0,\\[4pt] & b-c=0. \end{aligned}
Da segunda equação obtemos b=c. Substituindo em a+2b+3c=0
a+2c+3c=0 \quad\Rightarrow\quad a+5c=0 \quad\Rightarrow\quad a=-5c.
Portanto as soluções do sistema são
(a,b,c)=(-5t,\;t,\;t),
com t\in\mathbb{R} (ou no corpo de escalares que estiver sendo considerado). Como existe uma solução não-trivial (por exemplo tomar t=1 (a,b,c)=(-5,1,1)), concluímos que há combinações lineares não nulas que resultam no polinômio zero.]

Passo 7

Escrevendo a combinação não-trivial obtida com t=1:
-5\,(x^{2}+x+1)+1\,(2x^{2}-x+3)+1\,(3x^{2}+6x+2)=0.
Podemos reescrever isso como
(2x^{2}-x+3)+(3x^{2}+6x+2)=5(x^{2}+x+1),
o que é fácil de verificar diretamente: o lado esquerdo soma para 5x^{2}+5x+5, que é 5 vezes o primeiro polinômio.
Isto mostra explicitamente que um dos polinômios é combinação linear dos outros (por exemplo x^{2}+x+1=\tfrac{1}{5}\big((2x^{2}-x+3)+(3x^{2}+6x+2)\big)), portanto o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes; relação de dependência: -5(x^{2}+x+1)+(2x^{2}-x+3)+(3x^{2}+6x+2)=0.

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