Avalie a independência linear dos seguintes vetores, no correspondente espaço vetorial:
\{(1,2,3,4),(3,-1,2,4),(1,0,-1,1),(1,-3,0,-1)\} em \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se os vetores
v_1=(1,2,3,4),\quad v_2=(3,-1,2,4),\quad v_3=(1,0,-1,1),\quad v_4=(1,-3,0,-1)
são linearmente independentes em \mathbb{R}^4.
Informações dadas:
  • Quatro vetores em \mathbb{R}^4, cada um com quatro componentes.
  • A tarefa é decidir se existe ou não uma combinação linear não trivial
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4=0
com coeficientes \alpha_i não todos nulos. Se existir tal combinação, os vetores são linearmente dependentes; se a única solução for \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0, são independentes.

Passo 2

Estratégia prática (explicação didática curta): para testar independência vamos montar a solução da equação
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+\alpha_4 v_4=0,
isto é, resolver o sistema linear homogêneo A\alpha=0, onde as colunas de A são os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 e \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)^T. Se a solução geral tiver graus de liberdade (variáveis livres) além da trivial, então há dependência linear. Vamos fazer eliminação de Gauss em A.
Matriz A com as colunas sendo os vetores (cada coluna é um v_i):
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 1\\[2pt] 2 & -1 & 0 & -3\\[2pt] 3 & 2 & -1 & 0\\[2pt] 4 & 4 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Primeira etapa de eliminação: zerar abaixo do pivô a_{11}=1 usando operações linha elementares.
Fazer R_2\leftarrow R_2-2R_1, R_3\leftarrow R_3-3R_1, R_4\leftarrow R_4-4R_1. Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 1\\[2pt] 0 & -7 & -2 & -5\\[2pt] 0 & -7 & -4 & -3\\[2pt] 0 & -8 & -3 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Segundo pivô na coluna 2 (entrada -7 em R_2). Vamos eliminar as entradas abaixo em coluna 2.
Fazer R_3\leftarrow R_3-R_2 e R_4\leftarrow R_4-\tfrac{8}{7}R_2. Calculando:
  • R_3-R_2 = (0,0,-2,2).
  • R_4-\tfrac{8}{7}R_2 = \bigl(0,0,-\tfrac{5}{7},\tfrac{5}{7}\bigr).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 1\\[2pt] 0 & -7 & -2 & -5\\[2pt] 0 & 0 & -2 & 2\\[2pt] 0 & 0 & -\tfrac{5}{7} & \tfrac{5}{7} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Terceiro pivô na coluna 3 (entrada -2 em R_3). Eliminar a entrada abaixo: faça R_4\leftarrow R_4 - \frac{(-5/7)}{-2}\,R_3. O fator é \frac{-5/7}{-2}=\frac{5}{14}. Então
R_4 \leftarrow \bigl(0,0,-\tfrac{5}{7},\tfrac{5}{7}\bigr) - \tfrac{5}{14}\,(0,0,-2,2) = (0,0,0,0).
A matriz triangular resultante é
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 1\\[2pt] 0 & -7 & -2 & -5\\[2pt] 0 & 0 & -2 & 2\\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Observação didática: aparecer uma linha nula significa que o posto da matriz é menor que 4; aqui o posto é 3. Em \mathbb{R}^4, quatro vetores são linearmente independentes somente se o posto for 4. Portanto já sabemos que os vetores são linearmente dependentes. Ainda assim vamos encontrar explicitamente uma relação linear não trivial (útil para a prova).]

Passo 6

Resolver o sistema triangular superior para a combinação homogênea A\alpha=0. Escrevendo as equações (cada linha dá uma equação):
\begin{aligned} &\text{(1)}\quad \alpha_1 + 3\alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 0,\\[4pt] &\text{(2)}\quad -7\alpha_2 -2\alpha_3 -5\alpha_4 = 0,\\[4pt] &\text{(3)}\quad -2\alpha_3 + 2\alpha_4 = 0. \end{aligned}
Resolver da última pra frente:
  • Da (3): -2\alpha_3 + 2\alpha_4 = 0 implica \alpha_3=\alpha_4.
  • Substituindo na (2): -7\alpha_2 -2\alpha_3 -5\alpha_4 = -7\alpha_2 -2\alpha_4 -5\alpha_4 = -7(\alpha_2+\alpha_4)=0, logo \alpha_2 = -\alpha_4.
  • Substituindo \alpha_2,\alpha_3 na (1): \alpha_1 + 3(-\alpha_4) + \alpha_4 + \alpha_4 = \alpha_1 -\alpha_4 = 0, então \alpha_1=\alpha_4.
Portanto as variáveis podem ser escritas em função de um parâmetro livre t=\alpha_4:
\alpha_1=t,\quad \alpha_2=-t,\quad \alpha_3=t,\quad \alpha_4=t.]

Passo 7

Interpretando a solução: existe solução não trivial (por exemplo tomar t=1). Então os vetores são linearmente dependentes. A relação não trivial correspondente (com t=1) é
1\cdot v_1 + (-1)\cdot v_2 + 1\cdot v_3 + 1\cdot v_4 = 0,
ou seja
v_1 - v_2 + v_3 + v_4 = 0.
Comentário de amigo: isso significa que um dos vetores pode ser escrito em função dos outros; por exemplo v_1 = v_2 - v_3 - v_4. O posto da matriz é 3, então há exatamente uma liberdade na combinação (dimensão do núcleo é 1).

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes. Uma relação não trivial é v_1 - v_2 + v_3 + v_4 = 0.

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