Avalie a independência linear dos seguintes vetores, no correspondente espaço vetorial: \{(1,2,3,4),(3,-1,2,4),(1,0,-1,1),(1,-3,0,-1)\} em \mathbb{R}^{4}
com coeficientes \alpha_i não todos nulos. Se existir tal combinação, os vetores são linearmente dependentes; se a única solução for \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0, são independentes.
Passo 2
Estratégia prática (explicação didática curta): para testar independência vamos montar a solução da equação
isto é, resolver o sistema linear homogêneo A\alpha=0, onde as colunas de A são os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 e \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)^T. Se a solução geral tiver graus de liberdade (variáveis livres) além da trivial, então há dependência linear. Vamos fazer eliminação de Gauss em A.
Matriz A com as colunas sendo os vetores (cada coluna é um v_i):
Terceiro pivô na coluna 3 (entrada -2 em R_3). Eliminar a entrada abaixo: faça R_4\leftarrow R_4 - \frac{(-5/7)}{-2}\,R_3. O fator é \frac{-5/7}{-2}=\frac{5}{14}. Então
Observação didática: aparecer uma linha nula significa que o posto da matriz é menor que 4; aqui o posto é 3. Em \mathbb{R}^4, quatro vetores são linearmente independentes somente se o posto for 4. Portanto já sabemos que os vetores são linearmente dependentes. Ainda assim vamos encontrar explicitamente uma relação linear não trivial (útil para a prova).]
Passo 6
Resolver o sistema triangular superior para a combinação homogênea A\alpha=0. Escrevendo as equações (cada linha dá uma equação):
Interpretando a solução: existe solução não trivial (por exemplo tomar t=1). Então os vetores são linearmente dependentes. A relação não trivial correspondente (com t=1) é
Comentário de amigo: isso significa que um dos vetores pode ser escrito em função dos outros; por exemplo v_1 = v_2 - v_3 - v_4. O posto da matriz é 3, então há exatamente uma liberdade na combinação (dimensão do núcleo é 1).
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes. Uma relação não trivial é v_1 - v_2 + v_3 + v_4 = 0.