Avalie a independência linear dos seguintes vetores, no correspondente espaço vetorial:
\left\{\left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\\\ 3 & -6\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & -8 \\\\ -12 & 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -1 & 2\end{array}\right]\right\} em M_{2 \times 2}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a independência linear do conjunto de quatro matrizes em M_{2\times2}. As matrizes fornecidas são (vou nomeá‑las para ficar mais fácil):
A_1=\begin{pmatrix}3 & 6 \\[4pt] 3 & -6\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix},\qquad A_3=\begin{pmatrix}0 & -8 \\[4pt] -12 & 4\end{pmatrix},\qquad A_4=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
O que se pede explicitamente: determinar se existe uma combinação linear não trivial
x_1 A_1 + x_2 A_2 + x_3 A_3 + x_4 A_4 = 0_{2\times2}
com escalares x_1,x_2,x_3,x_4 não todos nulos. Se a única solução for x_1=x_2=x_3=x_4=0, então o conjunto é linearmente independente; caso contrário é dependente.]

Passo 2

Conceito usado (explicação didática curta): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). No espaço M_{2\times2} podemos tratar cada matriz como um vetor de quatro coordenadas, por exemplo ordenando as entradas por linhas: \big(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}\big). Essa identificação é apenas uma maneira de transformar o problema para resolver um sistema linear de quatro equações com quatro incógnitas.

Passo 3

Vou transformar cada matriz em um vetor coluna pela ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}). Peguei esses números das matrices do enunciado:
v_1=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\\[4pt]3\\[4pt]-6\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-8\\[4pt]-12\\[4pt]4\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Procuramos escalares x_1,x_2,x_3,x_4 tais que
x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 + x_4 v_4 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema linear (cada linha corresponde a uma posição da matriz):
\begin{cases} 3x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 1x_4 = 0,\\[6pt] 6x_1 -1x_2 -8x_3 + 0x_4 = 0,\\[6pt] 3x_1 -1x_2 -12x_3 -1x_4 = 0,\\[6pt] -6x_1 +0x_2 +4x_3 +2x_4 = 0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema passo a passo, mostrando cada substituição (sem pular etapas).]

Passo 5

Da primeira equação isolamos x_4:
3x_1 + x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4 = -3x_1.

Passo 6

Substituo x_4=-3x_1 na quarta equação:
-6x_1 + 4x_3 + 2x_4 = 0.
Substituindo x_4
-6x_1 + 4x_3 + 2(-3x_1) = 0.
Simplificando:
-6x_1 + 4x_3 -6x_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -12x_1 + 4x_3 = 0.
Isolando x_3:
4x_3 = 12x_1 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 3x_1.

Passo 7

Agora uso x_3=3x_1 na segunda equação:
6x_1 - x_2 - 8x_3 = 0.
Substituindo:
6x_1 - x_2 - 8(3x_1) = 0 \quad\Rightarrow\quad 6x_1 - x_2 - 24x_1 = 0.
Logo
-18x_1 - x_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -18x_1.

Passo 8

Temos expressões de x_2,x_3,x_4 em função de x_1:
x_2 = -18x_1,\qquad x_3 = 3x_1,\qquad x_4 = -3x_1.
Falta verificar a terceira equação para garantir consistência:
3x_1 - x_2 - 12x_3 - x_4 = 0.
Substituindo as expressões:
3x_1 - (-18x_1) - 12(3x_1) - (-3x_1).
Calcule termo a termo:
3x_1 + 18x_1 - 36x_1 + 3x_1 = (3+18-36+3)x_1 = -12x_1.
A terceira equação exige que isso seja zero, então obtemos
-12x_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 0.

Passo 9

Com x_1=0 vêm imediatamente
x_2 = -18x_1 = 0,\quad x_3 = 3x_1 = 0,\quad x_4 = -3x_1 = 0.
Portanto a única solução do sistema é x_1=x_2=x_3=x_4=0. Isso significa que a combinação linear nula só ocorre com todos os coeficientes zero, ou seja, o conjunto é linearmente independente.
Observação extra (útil na prova): M_{2\times2} tem dimensão 4. Encontramos quatro vetores linearmente independentes, então eles formam uma base de M_{2\times2}. Mas para a pergunta de independência isso não era necessário; apenas reforça a conclusão.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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