Avalie a independência linear dos seguintes vetores, no correspondente espaço vetorial: \left\{\left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\\\ 3 & -6\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & -8 \\\\ -12 & 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -1 & 2\end{array}\right]\right\} em M_{2 \times 2}
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a independência linear do conjunto de quatro matrizes em M_{2\times2}. As matrizes fornecidas são (vou nomeá‑las para ficar mais fácil):
com escalares x_1,x_2,x_3,x_4 não todos nulos. Se a única solução for x_1=x_2=x_3=x_4=0, então o conjunto é linearmente independente; caso contrário é dependente.]
Passo 2
Conceito usado (explicação didática curta): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). No espaço M_{2\times2} podemos tratar cada matriz como um vetor de quatro coordenadas, por exemplo ordenando as entradas por linhas: \big(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}\big). Essa identificação é apenas uma maneira de transformar o problema para resolver um sistema linear de quatro equações com quatro incógnitas.
Passo 3
Vou transformar cada matriz em um vetor coluna pela ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}). Peguei esses números das matrices do enunciado:
Portanto a única solução do sistema é x_1=x_2=x_3=x_4=0. Isso significa que a combinação linear nula só ocorre com todos os coeficientes zero, ou seja, o conjunto é linearmente independente.
Observação extra (útil na prova): M_{2\times2} tem dimensão 4. Encontramos quatro vetores linearmente independentes, então eles formam uma base de M_{2\times2}. Mas para a pergunta de independência isso não era necessário; apenas reforça a conclusão.