S=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2 x 2} ; a+c+d=0\right. e \left.b-2 c+3 d=0\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto S\) de matrizes \(2\times2\) definido por: \[S=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}\\ \middle|\\ a+c+d=0\\ \text{ e }\\ b-2c+3d=0\right\}.
As informações relevantes são as duas equações lineares que relacionam as entradas a,b,c,d:
\begin{cases} a+c+d=0,\\[4pt] b-2c+3d=0. \end{cases}
Vou tomar como objetivo caracterizar S\] explicitamente (forma paramétrica), mostrar que é subespaço, encontrar uma base para \(S e determinar sua dimensão.]

Passo 2

Por que S é subespaço (explicação didática)?
  • Um subconjunto de M_{2\times2} definido por equações lineares homogêneas em a,b,c,d costuma ser subespaço, porque as equações são preservadas por soma e multiplicação escalar.
  • Verificação rápida:
    • A matriz nula \begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix} satisfaz 0+0+0=0 e 0-2\cdot0+3\cdot0=0, logo pertence a S.
    • Se X,Y\in S então as entradas de X+Y satisfazem as mesmas equações (somando as igualdades), logo X+Y\in S.
    • Se X\in S e \lambda\in\mathbb{R} então as entradas de \lambda X também satisfazem as igualdades multiplicadas por \lambda, logo \lambda X\in S.
      Portanto S é subespaço de M_{2\times2}.]

Passo 3

Resolver as equações para escrever as matrizes de S em forma paramétrica.
Temos as duas equações lineares em quatro incógnitas a,b,c,d. É natural escolher duas variáveis livres e escrever as outras em função delas. Vou escolher c e d como parâmetros livres. Das equações obtemos:
a = -c - d \qquad\text{e}\qquad b = 2c - 3d.
Isso vem de isolar a na primeira equação e isolar b na segunda.

Passo 4

Expressar a matriz geral de S em função dos parâmetros c e d.
Substituindo a e b na matriz genérica:
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-c-d & 2c-3d\\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
Agora fatoramos em c e d:
\begin{pmatrix}-c-d & 2c-3d\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = c\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Assim obtemos uma representação paramétrica: todo elemento de S é combinação linear das duas matrizes mostradas.]

Passo 5

Mostrar que as duas matrizes geradoras são linearmente independentes (para serem uma base).
Denote
E_1=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Suponha que existam escalares \alpha,\beta\) tais que \[\alpha E_1+\beta E_2 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema (entradas correspondentes):
\begin{cases} -\,\alpha - \beta = 0,\\[4pt] 2\alpha - 3\beta = 0,\\[4pt] \alpha + 0\beta = 0,\\[4pt] 0\alpha + \beta = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem \alpha=0\]. Da quarta vem \(\beta=0. Logo \alpha=\beta=0 é a única solução, o que prova que E_1 e E_2 são linearmente independentes.]

Passo 6

Conclusões sobre base e dimensão.
  • Como todo elemento de S é combinação linear de E_1 e E_2, as matrizes \{E_1,E_2\} geram S.
  • Como E_1 e E_2 são linearmente independentes, seguem que formam uma base de S.
  • Portanto \dim(S)=2.
    Observação prática: podia-se escolher outros parâmetros livres (por exemplo a e b) e obter uma base diferente. O importante é que o espaço tem duas dimensões.

Resposta

Uma base é \left\{\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\right\}.
\dim(S)=2.]

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