Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
integral(p^4+4 p^3+12 p^2+24 p+24) e^-p+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral (p^4+4p^3+12p^2+24p+24)e^-p,dp usando integração por partes. O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos na primeira iteração
u = p^4+4p^3+12p^2+24p+24, dv = e^-p,dp
Então
du = (4p^3+12p^2+24p+24),dp,
v = integral e^-p,dp = -e^-p
Aplicando integral u,dv = uv - integral v,du temos
integral Q(p)e^-p,dp = -Q(p)e^-p + integral (4p^3+12p^2+24p+24)e^-p,dp,
onde Q(p)=p^4+4p^3+12p^2+24p+24.

Passo 3

Podemos repetir esse processo de forma hierárquica: definimos as derivadas sucessivas de Q:
Q^(0)(p)=p^4+4p^3+12p^2+24p+24, Q^(1)(p)=4p^3+12p^2+24p+24, Q^(2)(p)=12p^2+24p+24, Q^(3)(p)=24p+24, Q^(4)(p)=24
Em cada passo de partes ganhamos um termo -Q^(k)(p)e^-p e reduzimos o grau do polinômio, até chegar em integral Q^(4)(p)e^-p,dp.

Passo 4

A última integral é simples, pois Q^(4)(p)=24 é constante:
integral 24,e^-p,dp = -24e^-p
Somando todos os termos de -Q^(k)(p)e^-p para k=0,1,2,3,4 e incluindo esse resultado, obtemos:
integral Q(p)e^-p,dp = -l(Q^(0)+Q^(1)+Q^(2)+Q^(3)+Q^(4)r)e^-p + C

Passo 5

Agora basta somar os polinômios:
Q^(0)+Q^(1)+Q^(2)+Q^(3)+Q^(4)=(p^4+4p^3+12p^2+24p+24) +(4p^3+12p^2+24p+24) +(12p^2+24p+24)+(24p+24)+24 = p^4+8p^3+36p^2+96p+120
Logo a antiderivada final é

Passo 6

-l(p^4+8p^3+36p^2+96p+120r)e^-p + C

Resposta

-\bigl(p{4}+8p{3}+36p{2}+96p+120\bigr)e{-p} + C

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