Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando integração por partes. O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
.
Passo 2
Escolhemos na primeira iteração
Então
Aplicando
temos
onde
.
Passo 3
Podemos repetir esse processo de forma hierárquica: definimos as derivadas sucessivas de
:
Em cada passo de partes ganhamos um termo
e reduzimos o grau do polinômio, até chegar em
.
Passo 4
A última integral é simples, pois
é constante:
Somando todos os termos de
para
e incluindo esse resultado, obtemos:
Passo 5
Agora basta somar os polinômios:
Logo a antiderivada final é
Passo 6
Resposta
-\bigl(p{4}+8p{3}+36p{2}+96p+120\bigr)e{-p} + C