Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular
. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma maneira de integrar produtos de funções. Pra isso, vamos precisar saber escolher bem quais partes da integral vão ser $ u $ e $ dv $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que vai ser $ u $ e o que vai ser $ dv $. Na integração por partes, a gente escolhe $ u $ para ser uma função que fica mais simples quando derivada, e $ dv $ para ser algo fácil de integrar.
Aqui, vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ du $ e $ v $.
Para $ du $, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
Usando a regra da cadeia, temos:
Para $ v $, integramos $ dv $:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral restante: $ \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{4}}} dx $. Aqui, uma substituição vai ajudar.
Deixe:
Então:
Substituindo na integral:
Essa integral é padrão:
Voltando a $ x $:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a $ \frac{1}{\sqrt{2}} $.
Para $ x = \frac{1}{\sqrt{2}} $:
Então:
Para $ x = 0 $:
Então:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral vale: