Avalie as integrais usando a técnica de integração por partes.
integral0^1 / raiz2 2 x sin ^-1(x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular integral0^1 / raiz2 2x sin^-1(x^2) dx. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma maneira de integrar produtos de funções. Pra isso, vamos precisar saber escolher bem quais partes da integral vão ser $ u $ e $ dv $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que vai ser $ u $ e o que vai ser $ dv $. Na integração por partes, a gente escolhe $ u $ para ser uma função que fica mais simples quando derivada, e $ dv $ para ser algo fácil de integrar.
Aqui, vamos deixar:
u
dv

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ du $ e $ v $.
Para $ du $, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
du
Usando a regra da cadeia, temos:
v
Para $ v $, integramos $ dv $:
du

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral 2x sin^-1(x^2) dx = x^2 sin^-1(x^2) - integral x^2 cdot 2xraiz1 - x^4 dx
Simplificando:
= x^2 sin^-1(x^2) - 2 integral x^3raiz1 - x^4 dx

Passo 5

Vamos resolver a integral restante: $ \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{4}}} dx $. Aqui, uma substituição vai ajudar.
Deixe:
integral x^3raiz1 - x^4 dx
Então:
t = x^4
dt = 4x^3 dx
Substituindo na integral:
dt4 = x^3 dx
Essa integral é padrão:
integral x^3raiz1 - x^4 dx = 14 integral 1raiz1 - t dt
Voltando a $ x $:
14 cdot 2 raiz1 - t = 12 raiz1 - t + C

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral 2x sin^-1(x^2) dx = x^2 sin^-1(x^2) - 2 ( 12 raiz1 - x^4 ) + C
Simplificando:
= x^2 sin^-1(x^2) - raiz1 - x^4 + C

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a $ \frac{1}{\sqrt{2}} $.
Para $ x = \frac{1}{\sqrt{2}} $:
1raiz2
x = 1raiz2
x^2 = 12
Então:
sin^-1(12) = pi6
Para $ x = 0 $:
raiz1 - x^4 = raiz1 - 14 = raiz32
( 12 cdot pi6 ) - raiz32 = pi12 - raiz32
Então:
x = 0

Passo 8

Subtraindo os valores:
( pi12 - raiz32 ) - (-1) = pi12 - raiz32 + 1

Resposta

A integral vale:
1 + pi12 - raiz32

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