Avalie a Integral:
9-integral 1raizx^2+16 d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral indefinida 9 - integral 1raizx^2+16,dx. O conteúdo principal é o cálculo de integrais, em especial a fórmula da antiderivada de 1/raizx^2+a^2. Para resolver vamos usar a linearidade da integral e a tabela básica de integrais.

Passo 2

Primeiro, separe a integral em duas partes usando a propriedade integral (f - g) = integral f - integral g:
9 - integral 1raizx^2+16,dx = integral 9,dx - integral 1raizx^2+16,dx

Passo 3

Agora, calcule cada uma das integrais separadamente. Para a primeira:
integral 9,dx = 9x
Isso vem da antiderivada de uma constante, que é a constante vezes x.

Passo 4

Para a segunda integral, usamos a fórmula conhecida
integral 1raizx^2+a^2,dx = lnl|x + raizx^2+a^2r| + C
Aqui a^2=16, logo a=4. Assim,
integral 1raizx^2+16,dx = lnl|x + raizx^2+16r| + C

Passo 5

Por fim, juntamos os resultados e adicionamos a constante de integração única +C:
9x - lnl|x + raizx^2+16r| + C

Resposta

9x - \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}+16}\bigr| + C

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