Avalie a Integral:
22-integral 1s^2(s-1)^2 d s

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a expressão 22 - integral 1s^2(s-1)^2,ds. Aqui o conteúdo principal é integração de funções racionais usando frações parciais.

Passo 2

Para integrar 1s^2(s-1)^2, fazemos a decomposição
1s^2(s-1)^2=As+Bs^2+Cs-1+D(s-1)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s^2(s-1)^2, obtemos a identidade
1 = A,s(s-1)^2 + B,(s-1)^2 + C,s^2(s-1) + D,s^2
Expandindo e comparando coeficientes de s^3,s^2,s, e termo independente, definimos um sistema para A,B,C,D.

Passo 4

Resolvendo esse sistema, encontramos

Passo 5

Substituindo em cada fração, a integral vira
integral 1s^2(s-1)^2,ds = integrall(2s+1s^2-2s-1+1(s-1)^2r)ds
Integrando termo a termo com integral s^-1ds=ln|s|, integral s^-2ds=-1/s e regras análogas,

Passo 6

obtemos
integral 1s^2(s-1)^2,ds = 2ln|s| -2ln|s-1| -1s -1s-1 + C
Como queremos 22 - essa integral, fazemos
22 - integral 1s^2(s-1)^2,ds = 22 -l(2ln|s| -2ln|s-1| -tfrac1s -tfrac1s-1r) + C'
Reorganizando e absorvendo constantes,

Passo 7

chegamos ao resultado final.

Resposta

22 -2lnl|ss-1r| + 1s + 1s-1 + C

Exercícios relacionados