Faça a substituição para expressar o integrando como uma função racional e então avalie a integral:
39-integral 1x raizx+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão 39 - integral 1xraizx+1,dx. O conteúdo principal é integração de uma função que envolve raiz quadrada, e vamos precisar fazer uma substituição que transforme o integrando em função racional.

Passo 2

Fazemos a substituição t = raizx+1. Então temos:
x + 1 = t^2 Rightarrow x = t^2 - 1,
dx = 2t,dt
Substituindo em dxxraizx+1:
dxxraizx+1 = 2t,dt(t^2-1),t = 2,dtt^2 - 1

Passo 3

Agora integramos a função racional:
integral 1xraizx+1,dx = integral 2,dtt^2 - 1 = 2 integral dtt^2 - 1

Passo 4

Usando a primitiva integral dtt^2 - 1 = tfrac12lnl|tfract-1t+1r| + C, obtemos:
2 cdot 12 lnl|t-1t+1r| + C = lnl|t-1t+1r| + C

Passo 5

Retornando à variável x, com t=raizx+1:
integral 1xraizx+1,dx = lnl|raizx+1-1raizx+1+1r| + C

Passo 6

Logo,
39 - integral 1xraizx+1,dx = 39 - lnl|raizx+1-1raizx+1+1r| + C

Resposta

39 - \ln\Bigl|\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\Bigr| + C

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