Avalie a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo principal é integração por partes, que usa a fórmula
.
Passo 2
Escolhemos
e
. Então
$$du = 2t,dt,
$$
$$v = \int \sin(\beta t),dt = -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t).
$$
Passo 3
Para calcular
, aplicamos IBP de novo: escolhemos
e
. Então
$$du_1 = dt,
$$
$$v_1 = \int \cos(\beta t),dt = \frac{1}{\beta}\sin(\beta t).
$$
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
$$\int t^2\sin(\beta t),dt = -\frac{t^2}{\beta}\cos(\beta t) + \frac{2}{\beta}\Bigl(\frac{t}{\beta}\sin(\beta t) + \frac{1}{\beta^2}\cos(\beta t)\Bigr).