Estude as convergências das sequências (an) :
n2^n+(-1)^nn

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência definida por an = n2^n + (-1)^nn. O conteúdo principal aqui é limite de sequência e as propriedades de soma de limites. Vamos precisar saber que se duas sequências convergem, sua soma também converge para a soma dos limites.

Passo 2

Analisando o primeiro termo bn = n2^n. Uma maneira rigorosa é usar o teste da razão:
bn+1bn = n+12^n+1n2^n = n+12n
e
limntoinfty n+12n = 12 < 1
Como o limite da razão é menor que 1, concluímos que bn to 0 quando n to infty.

Passo 3

Analisando o segundo termo cn = (-1)^nn. Note que em valor absoluto temos |cn| = 1n, e sabemos que limntoinfty 1n = 0. Pelo Teorema do Confronto (ou porque 1/nto0 e (-1)^n é limitado), segue que cn to 0.

Passo 4

Aplicando a propriedade de soma de limites: se bnto L1 e cnto L2, então bn + cn to L1 + L2. Aqui temos L1 = 0 e L2 = 0, logo
limntoinfty an = limntoinftyl(bn + cnr) = 0 + 0 = 0

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

Exercícios relacionados