Avalie o limite:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}.
Informações dadas:
  • A variável é x.
  • O ponto de interesse é x \to 1.
  • A expressão a analisar é \dfrac{x^{3}-1}{x-1}.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituição direta (ou seja, colocar x=1 na expressão) para ver se o limite pode ser obtido assim.
Calcular o numerador e o denominador em x=1:
x^{3}-1\Big|_{x=1}=1^{3}-1=0, \qquad x-1\Big|_{x=1}=1-1=0.
Obtemos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição: precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Uma técnica muito útil aqui é fatorar o numerador. Existe a identidade algébrica chamada diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}),
onde a e b são quaisquer números (ou expressões). Para verificar essa identidade, basta multiplicar a fatoração:
(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}+a^{2}b+a b^{2}-a^{2}b-a b^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}.
Aplicando essa identidade com a=x e b=1, obtemos:
x^{3}-1=(x-1)\,(x^{2}+x+1).

Passo 4

Como x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1), para x\neq 1 podemos cancelar o fator comum (x-1) e reescrever a expressão original como
\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1 \qquad (x\neq 1).
Agora o limite quando x\to 1 da função original é igual ao limite da função simplificada x^{2}+x+1. Polinômios são funções contínuas, portanto o limite ao aproximar x de 1 é simplesmente o valor do polinômio em x=1:
\lim_{x\to 1} \bigl(x^{2}+x+1\bigr)=1^{2}+1+1.

Passo 5

Resumo final do raciocínio: substituição direta deu indeterminação \tfrac{0}{0}; usamos a fatoração diferença de cubos para cancelar (x-1); sobrou o polinômio x^{2}+x+1, cuja continuidade permite avaliar o limite substituindo x=1, obtendo 1^{2}+1+1. Força e ânimo — essas manipulações algébricas são exatamente o tipo de coisa que cai na prova e valem muito ponto!

Resposta

3

Exercícios relacionados