Determine:
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A variável
tende para .
O objetivo é encontrar o valor desse limite quandocresce sem limite.
Passo 2
Idea-chave (explicação didática): para limites de funções racionais (frações de polinômios) quando
convém comparar os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
- Se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é
. - Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (os chamados coeficientes dominantes).
- Se o grau do numerador for maior, o limite será
(ou não existir finito).
Explicação do porquê (método prático): dividir numerador e denominador pela maior potência depresente (aqui ) e observar que expressões como e tendem a zero quando .
Passo 3
Aplicando o método: dividir numerador e denominador por
(válido para
; para limites em
isso não é problema). Fazendo a divisão obtemos
Passo 4
Agora tomamos o limite de cada termo que depende de
. Sabemos que
porque potências de
no denominador crescem e fazem a fração ir a zero. Usando a propriedade de limites (limite do quociente é quociente dos limites se o denominador limite não for zero), obtemos
Passo 5
Interpretação curta e checagem: os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos
), então o limite é de fato a razão dos coeficientes dos termos de maior grau, isto é
. Para intuição numérica, para
muito grande a fração aproxima-se de
.