Determine:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{2}+7}{5 x^{2}-4 x}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2}+7}{5x^{2}-4x}.
Informações dadas:
  • Numerador: 3x^{2}+7.
  • Denominador: 5x^{2}-4x.
  • A variável x tende para +\infty.
    O objetivo é encontrar o valor desse limite quando x cresce sem limite.

Passo 2

Idea-chave (explicação didática): para limites de funções racionais (frações de polinômios) quando x\to\pm\infty convém comparar os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
  • Se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é 0.
  • Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (os chamados coeficientes dominantes).
  • Se o grau do numerador for maior, o limite será \pm\infty (ou não existir finito).
    Explicação do porquê (método prático): dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui x^{2}) e observar que expressões como \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{x^{2}} tendem a zero quando x\to+\infty.

Passo 3

Aplicando o método: dividir numerador e denominador por x^{2} (válido para x\neq0; para limites em +\infty isso não é problema). Fazendo a divisão obtemos
\frac{3x^{2}+7}{5x^{2}-4x} = \frac{\dfrac{3x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{2}}}{\dfrac{5x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{4x}{x^{2}}} = \frac{3+\dfrac{7}{x^{2}}}{5-\dfrac{4}{x}}.

Passo 4

Agora tomamos o limite de cada termo que depende de x. Sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{7}{x^{2}}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x}=0,
porque potências de x no denominador crescem e fazem a fração ir a zero. Usando a propriedade de limites (limite do quociente é quociente dos limites se o denominador limite não for zero), obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{3+\dfrac{7}{x^{2}}}{5-\dfrac{4}{x}} = \frac{3+0}{5-0} = \frac{3}{5}.

Passo 5

Interpretação curta e checagem: os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), então o limite é de fato a razão dos coeficientes dos termos de maior grau, isto é \dfrac{3}{5}. Para intuição numérica, para x muito grande a fração aproxima-se de \dfrac{3x^{2}}{5x^{2}}=\dfrac{3}{5}.

Resposta

\dfrac{3}{5}

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