Encontre o limite:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações dadas/importantes:
- A função envolvida é
. - O limite é tomado quando
tende a pela direita ( ). - Ao substituir
diretamente, o numerador e o denominador valem ambos zero, portanto a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Entendendo a forma indeterminada
e o que podemos fazer.
- Quando uma expressão tem forma
ao avaliar o ponto do limite, isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; é preciso manipular a expressão ou aplicar um teorema. - Duas estratégias simples e clássicas para esse tipo de limite são:
- Usar a regra de L’Hôpital (que transforma o limite de quociente em limite de quociente de derivadas, sob certas condições).
- Usar a expansão em série (desenvolvimento de Taylor/Maclaurin) de
perto de .
Vou aplicar a regra de L’Hôpital primeiro (método direto e curto) e depois mostrar a confirmação pelo desenvolvimento em série (para você entender outras abordagens).
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hôpital.
- Enunciado da regra de L’Hôpital (versão para
): Se e , e se e são diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente em ) e existe (ou é ), então - Aqui escolhemos
e . Verificamos que ambos tendem a quando , e são diferenciáveis para próximo de (exceto que seria problema, mas estamos em torno de ). - Agora calculamos as derivadas:
- Derivada do denominador:
. - Derivada do numerador: usar a regra da cadeia. Se
então . Composição tem derivada (Aqui a regra da cadeia diz que a derivada de é .)
- Derivada do denominador:
- Pela regra de L’Hôpital,
- Agora podemos avaliar esse limite por substituição direta (a função
é contínua em ):
Passo 4
Interpretação: relação com derivada no ponto.
- Outra forma de ver o resultado, que ajuda a entender o porquê, é notar que a expressão
é exatamente o quociente incremental que define a derivada de em . Ou seja, E calculamos , logo . Isso dá um significado geométrico: a razão tende à inclinação (derivada) da curva no ponto .
Passo 5
Confirmação usando o desenvolvimento em série (Maclaurin) — modo útil e frequente em provas.
- Para
próximo de existe o desenvolvimento conhecido que é uma série alternada em potências de . Essa série é válida para (no caso estamos nessa região). - Dividindo termo a termo por
, - Ao fazer
, todos os termos que contêm vão a zero, sobrando - Essa abordagem confirma o resultado obtido por L’Hôpital e mostra também a velocidade de convergência (o erro é da ordem de
).