Encontre o limite:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (1+x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln(1+x)}{x}.
Informações dadas/importantes:
  • A função envolvida é x \mapsto \dfrac{\ln(1+x)}{x}.
  • O limite é tomado quando x tende a 0 pela direita ( x\to0^{+}).
  • Ao substituir x=0 diretamente, o numerador e o denominador valem ambos zero, portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Entendendo a forma indeterminada 0/0 e o que podemos fazer.
  • Quando uma expressão tem forma 0/0 ao avaliar o ponto do limite, isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; é preciso manipular a expressão ou aplicar um teorema.
  • Duas estratégias simples e clássicas para esse tipo de limite são:
    1. Usar a regra de L’Hôpital (que transforma o limite de quociente em limite de quociente de derivadas, sob certas condições).
    2. Usar a expansão em série (desenvolvimento de Taylor/Maclaurin) de \ln(1+x) perto de 0.
      Vou aplicar a regra de L’Hôpital primeiro (método direto e curto) e depois mostrar a confirmação pelo desenvolvimento em série (para você entender outras abordagens).

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital.
  • Enunciado da regra de L’Hôpital (versão para 0/0): Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, e se f e g são diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Aqui escolhemos f(x)=\ln(1+x) e g(x)=x. Verificamos que ambos tendem a 0 quando x\to0, e são diferenciáveis para x próximo de 0 (exceto que x=-1 seria problema, mas estamos em torno de 0).
  • Agora calculamos as derivadas:
    • Derivada do denominador: g'(x)=1.
    • Derivada do numerador: usar a regra da cadeia. Se h(u)=\ln u então h'(u)=\dfrac{1}{u}. Composição f(x)=h(1+x) tem derivada f'(x)=h'(1+x)\cdot(1+x)'=\frac{1}{1+x}\cdot 1=\frac{1}{1+x}.(Aqui a regra da cadeia diz que a derivada de h(g(x)) é h'(g(x))\cdot g'(x).)
  • Pela regra de L’Hôpital, \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{1/(1+x)}{1} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{1+x}.
  • Agora podemos avaliar esse limite por substituição direta (a função 1/(1+x) é contínua em 0): \lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1+0} = 1.

Passo 4

Interpretação: relação com derivada no ponto.
  • Outra forma de ver o resultado, que ajuda a entender o porquê, é notar que a expressão \dfrac{\ln(1+x)-\ln(1+0)}{x-0} é exatamente o quociente incremental que define a derivada de F(x)=\ln(1+x) em 0. Ou seja, \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = F'(0).E calculamos F'(x)=\dfrac{1}{1+x}, logo F'(0)=1. Isso dá um significado geométrico: a razão \dfrac{\ln(1+x)}{x} tende à inclinação (derivada) da curva \ln(1+x) no ponto x=0.

Passo 5

Confirmação usando o desenvolvimento em série (Maclaurin) — modo útil e frequente em provas.
  • Para x próximo de 0 existe o desenvolvimento conhecido \ln(1+x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots,que é uma série alternada em potências de x. Essa série é válida para |x|<1 (no caso x\to0^{+} estamos nessa região).
  • Dividindo termo a termo por x, \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} - \cdots.
  • Ao fazer x\to0^{+}, todos os termos que contêm x vão a zero, sobrando \lim_{x\to0^{+}} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.
  • Essa abordagem confirma o resultado obtido por L’Hôpital e mostra também a velocidade de convergência (o erro é da ordem de x).

Resposta

1

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