Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista sem usar a regra de LHospital. Justifique suas respostas.
lim x 0 x^4 cos (1x^3)

Passo 1

Nesse exercício vamos avaliar limx 0 x^4cosl(1/x^3r). O conteúdo principal é limites de funções oscilantes multiplicadas por termos que vão a zero, e para resolver vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Sabemos que para todo t vale -1 <= cos(t) <= 1. Como isso é verdade para t = 1/x^3, temos
-1 <= cosl(1/x^3r) <= 1
e, multiplicando essa desigualdade por x^4 (que é não-negativo quando x está perto de zero), obtemos
-x^4 <= x^4cosl(1/x^3r) <= x^4

Passo 3

Agora observamos os limites das funções que fazem fronteira:
limxto 0(-x^4) = 0 e limxto 0 x^4 = 0

Passo 4

Como x^4cos(1/x^3) está “espremido” entre duas funções que tendem a zero, pelo Teorema do Confronto concluímos que
limxto 0 x^4cosl(1/x^3r) = 0

Resposta

0

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