Encontre a solução geral da equação diferencial usando o método de anulação do operador:
Passo 1
A equação dada é
. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método do operador anulador (também chamado método dos coeficientes indeterminados com anulação).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
. A equação característica é
que tem discriminante
Passo 3
Agora identificamos o termo não-homogêneo
. Sabemos que um operador anulador de
é
, pois
. Como o valor
não aparece na característica de
, não precisamos multiplicar por fatores extras.
Pelo método dos coeficientes indeterminados, propomos uma solução particular do mesmo tipo do polinômio do lado direito. Como é grau 2, tomamos
Pelo método dos coeficientes indeterminados, propomos uma solução particular do mesmo tipo do polinômio do lado direito. Como é grau 2, tomamos
Passo 4
Vamos calcular derivadas:
Passo 5
Substituindo em
temos
Passo 6
Expandindo e coletando termos:
Passo 7
Igualando coeficientes de cada potência de
:
Para :
implica
.
Para :
implica
e então
.
Para o termo constante: implica
, logo
e
.
Para
Para
Para o termo constante:
Passo 8
Assim a solução particular é
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular.