Encontre a solução geral da equação diferencial usando o método de anulação do operador:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=x^2

Passo 1

A equação dada é y'' + 4y' + 4y = x^2. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método do operador anulador (também chamado método dos coeficientes indeterminados com anulação).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada y'' + 4y' + 4y = 0. A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0
que tem discriminante De, logo raiz dupla r = -2. Então a solução complementar (homogênea) é
yh(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x

Passo 3

Agora identificamos o termo não-homogêneo x^2. Sabemos que um operador anulador de x^2 é D^3, pois D^3[x^2]=0. Como o valor r=0 não aparece na característica de yh, não precisamos multiplicar por fatores extras.
Pelo método dos coeficientes indeterminados, propomos uma solução particular do mesmo tipo do polinômio do lado direito. Como é grau 2, tomamos
yp(x) = A x^2 + B x + C

Passo 4

Vamos calcular derivadas:
yp'(x) = 2A x + B,
yp''(x) = 2A

Passo 5

Substituindo em y'' + 4y' + 4y = x^2 temos
2A + 4(2A x + B) + 4(A x^2 + B x + C) = x^2

Passo 6

Expandindo e coletando termos:
4A x^2 + (8A + 4B)x + (2A + 4B + 4C) = x^2 + 0x + 0

Passo 7

Igualando coeficientes de cada potência de x:
Para x^2: 4A = 1 implica A = tfrac14.
Para x^1: 8A + 4B = 0 implica 8cdottfrac14 + 4B = 0 e então B = -tfrac12.
Para o termo constante: 2A + 4B + 4C = 0 implica 2cdottfrac14 + 4(-tfrac12) + 4C = 0, logo 4C = tfrac32 e C = tfrac38.

Passo 8

Assim a solução particular é
yp(x) = tfrac14 x^2 - tfrac12 x + tfrac38

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular.
y(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x + tfrac14 x^2 - tfrac12 x + tfrac38

Resposta

y(x) = C1 e^-2x + C2 x e^-2x + 14 x^2 - 12 x + 38

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