Calcule
lim x 0 1-cos (x)sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite x to 0 de 1-cos(x)sin(x). O conteúdo envolvido é limite de funções e identidades trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade do cosseno e pequenas aproximações para ângulos.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica 1-cos(x)=2sin^2l(tfracx2r) para reescrever o numerador, ficando: 1-cos(x)sin(x)=2sin^2l(tfracx2r)sin(x)
Também lembramos que sin(x)=2sinl(tfracx2r)cosl(tfracx2r). Substituindo, temos: 2sin^2l(tfracx2r)2sinl(tfracx2r)cosl(tfracx2r)=sinl(tfracx2r)cosl(tfracx2r)=tanl(tfracx2r)

Passo 3

Agora o limite vira limxto0tanl(tfracx2r). Como para ângulos pequenos tan(u)approx u, temos tan(tfracx2)approxtfracx2. Portanto fazendo xto0, esse valor vai a zero.
O limite pedido é zero.

Resposta

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