Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista, sem usar a regra de L’Hospital.
(0.6) \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(\frac{4 x-8}{3 x-3}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to 1^-}\left(\frac{4x-8}{3x-3}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é a função racional \dfrac{4x-8}{3x-3}.
  • O ponto de interesse é x\to 1 pela esquerda (isto é, x se aproxima de 1 com valores menores que 1).

Passo 2

Vou verificar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando x\to 1.
Calculo do numerador:
4x-8 = 4(x-2)\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 1}4x-8 = 4(1)-8 = -4.
Calculo do denominador:
3x-3 = 3(x-1)\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 1}3x-3 = 3(1-1)=0.
Portanto temos a situação “número finito não nulo dividido por algo que tende a zero” — isso costuma gerar um limite infinito (ou seja, o quociente não converge para um número finito).

Passo 3

Agora preciso determinar o sinal desse infinito (positivo ou negativo). Para isso faço uma análise do sinal perto de x=1 vindo da esquerda.
  • Quando x\to 1^- temos x-1<0 e muito pequeno em módulo, logo 3(x-1) é um número negativo com módulo pequeno (denominador \to 0^-).
  • O numerador tende para -4, que é negativo e não se anula.
Dividindo: um numerador negativo dividido por um denominador negativo muito pequeno dá um número positivo com módulo muito grande. Em outras palavras, a fração cresce sem limite para +\infty.
Uma maneira algébrica de ver isso:
\frac{4x-8}{3x-3}=\frac{4}{3}\cdot\frac{x-2}{x-1}.
Escrevendo x-2=(x-1)-1 obtemos
\frac{x-2}{x-1}=1-\frac{1}{x-1}.
Quando x\to 1^- temos \dfrac{1}{x-1}\to -\infty, então 1-\dfrac{1}{x-1}\to +\infty. Multiplicando por \dfrac{4}{3}>0 continua indo para +\infty.

Passo 4

Concluo, com a justificativa anterior (numerador tende a -4 e denominador tende a 0^-, tornando o quociente um número positivo com módulo arbitrariamente grande), que o limite procurado diverge para +\infty.
Força aí — esse tipo de análise de sinal e fatoração é exatamente o que cai na prova e é rápido de fazer sem L’Hospital.

Resposta

+\infty

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