Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista, sem usar a regra de L’Hospital.
(0.6)
(0.6)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações dadas:
- A expressão é a função racional
. - O ponto de interesse é
pela esquerda (isto é, se aproxima de com valores menores que ).
Passo 2
Vou verificar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando
.
Calculo do numerador:
Calculo do denominador:
Portanto temos a situação “número finito não nulo dividido por algo que tende a zero” — isso costuma gerar um limite infinito (ou seja, o quociente não converge para um número finito).
Passo 3
Agora preciso determinar o sinal desse infinito (positivo ou negativo). Para isso faço uma análise do sinal perto de
vindo da esquerda.
- Quando
temos e muito pequeno em módulo, logo é um número negativo com módulo pequeno (denominador ). - O numerador tende para
, que é negativo e não se anula.
Dividindo: um numerador negativo dividido por um denominador negativo muito pequeno dá um número positivo com módulo muito grande. Em outras palavras, a fração cresce sem limite para
.
Uma maneira algébrica de ver isso:
Escrevendo
obtemos
Quando
temos
, então
. Multiplicando por
continua indo para
.
Passo 4
Concluo, com a justificativa anterior (numerador tende a
e denominador tende a
, tornando o quociente um número positivo com módulo arbitrariamente grande), que o limite procurado diverge para
.
Força aí — esse tipo de análise de sinal e fatoração é exatamente o que cai na prova e é rápido de fazer sem L’Hospital.