Seja f(x)=(x-2)(8-x) para 2 \leq x \leq 8.
Determinar f(f(3)) e f(f(5)).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por
f(x)=(x-2)(8-x)
para 2 \leq x \leq 8. As perguntas são:
  • Determinar f(f(3)).
  • Determinar f(f(5)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x) é (x-2)(8-x).
  • O domínio declarado da função é o intervalo [2,8]. Isso significa que f(x) só está definida (segundo o enunciado) para entradas x com 2 \leq x \leq 8.

Passo 2

Conceitos e método que vamos usar (passo-a-passo, sem pulo de etapas):
  • Avaliar f em um número a significa substituir x por a na expressão (x-2)(8-x) e calcular.
  • Composição f(f(a)) significa primeiro calcular b=f(a) e depois calcular f(b).
  • Atenção com o domínio: se b=f(a) não pertence ao domínio [2,8], então f(b) não está definida (segundo o enunciado) e a composição f(f(a)) não existe no contexto dado.
    Vou aplicar isso diretamente para a=3 e a=5.

Passo 3

Calcular f(3) substituindo x=3 em f(x)=(x-2)(8-x).
f(3)=(3-2)(8-3)
Agora calcular cada fator:
3-2=1,\qquad 8-3=5.
Logo
f(3)=1\cdot 5=5.

Passo 4

Agora calcular f(f(3)). Como f(3)=5, temos f(f(3))=f(5). Então precisamos avaliar f(5). Substituindo x=5 em f(x):
f(5)=(5-2)(8-5).
Calcular cada fator:
5-2=3,\qquad 8-5=3.
Logo
f(5)=3\cdot 3=9.
Portanto
f(f(3))=f(5)=9.

Passo 5

Agora calcular f(f(5)). Primeiro já sabemos que f(5)=9. Para f(f(5)) precisamos de f(9). Verificamos o domínio: o enunciado definiu f apenas para 2 \leq x \leq 8. Como 9\notin[2,8], o valor f(9) NÃO está definido segundo a definição dada da função. Portanto a composição f(f(5)) não existe no domínio fornecido.
Observação extra (apenas para contraste): se alguém ignorasse o aviso do domínio e aplicasse a fórmula simbolicamente a x=9, obteria
(9-2)(8-9)=7\cdot(-1)=-7,
mas esse valor não é válido aqui porque contradiz a condição do enunciado que restringe o domínio a [2,8]. A resposta correta para a prova deve respeitar o domínio indicado.

Resposta

f(f(3))=9
f(f(5)) não está definida.

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