Seja f(x)=(x-2)(8-x) para 2 \leq x \leq 8.
Qual é domínio de f(x) ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=(x-2)(8-x) com a indicação adicional de que ela é definida para 2\leq x\leq 8. A pergunta é: qual é o domínio de f(x)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão da função é f(x)=(x-2)(8-x).
  • Há uma restrição explícita no enunciado: 2\leq x\leq 8.
  • A pergunta pede o domínio de f.

Passo 2

O que significa “domínio” de uma função? O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função produz um número real bem definido. Em outras palavras, são todos os x que a função “aceita” como entrada.
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Se uma função é um polinômio simples, por exemplo g(x)=x^2+1, ela está definida para todos os números reais; o domínio seria \mathbb{R}.
  • Se a função envolve uma raiz quadrada \sqrt{x}, normalmente precisamos x\geq0 para ficar no conjunto dos reais.
  • Se a função envolve uma divisão por x, precisamos x\neq0 para evitar divisão por zero.

Passo 3

Agora olhe para a nossa função. A expressão f(x)=(x-2)(8-x) é um produto de polinômios (na verdade um polinômio de grau 2). Sozinha, sem restrições, essa expressão está definida para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, matematicamente falaríamos que um polinômio tem domínio \mathbb{R}.
Porém, o enunciado já especificou uma restrição: a função foi dada "para 2\leq x\leq 8". Quando o enunciado indica explicitamente que a função vale apenas nesse intervalo, o domínio passa a ser exatamente esse intervalo. É como dizer “esta função só está considerada para valores entre 2 e 8, inclusive”.

Passo 4

Só para ilustrar que os extremos estão realmente incluídos (fechamento do intervalo): calcular os valores nos extremos mostra que são bem definidos e finitos:
f(2)=(2-2)(8-2)=0,\qquad f(8)=(8-2)(8-8)=0.
Isso confirma que os pontos x=2 e x=8 pertencem ao conjunto de entrada permitido.

Resposta

[2,8]

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