Avalie os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{5}{3 x}\right)^{-2 x}.

Passo 1

O enunciado pede que eu avalie o limite
\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{5}{3x}\right)^{-2x}.
Informações dadas:
  • A variável que tende ao infinito é x.
  • A expressão é da forma \left(1+\dfrac{\text{constante}}{x}\right)^{\text{proporcional a }x}.

Passo 2

Vou explicar duas formas simples e seguras de calcular esse tipo de limite. Ambas usam a mesma ideia-chave: a expressão \left(1+\dfrac{c}{x}\right)^{x} tende para e^{c} quando x\to\infty. Primeiro mostro uma manipulação algébrica direta que transforma a expressão em algo do tipo (1+1/n)^n. Depois mostro a técnica com logaritmo natural, que é útil quando quiser justificar com séries ou limites de razão.

Passo 3

Manipulação algébrica direta. Reescrevo a potência de modo a identificar a forma padrão:
\left(1+\frac{5}{3x}\right)^{-2x} = \left[\left(1+\frac{5}{3x}\right)^{\frac{3x}{5}}\right]^{-\frac{10}{3}}.
Verificando os expoentes: \dfrac{3x}{5}\cdot\left(-\dfrac{10}{3}\right)=-2x, então a igualdade é válida.

Passo 4

Agora faço a substituição \;n=\dfrac{3x}{5}.; Quando x\to\infty também temos n\to\infty. Com essa substituição a base fica
1+\frac{5}{3x}=1+\frac{1}{n},
portanto
\left(1+\frac{5}{3x}\right)^{\frac{3x}{5}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
É um fato clássico (definição/identidade do número e) que
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.
Assim a expressão entre colchetes tende a e quando x\to\infty. Elevando ao expoente -\dfrac{10}{3}, obtemos
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{3x}\right)^{-2x}=e^{-\frac{10}{3}}.

Passo 5

Método alternativo (logaritmo natural) — serve para justificar de forma analítica. Seja L o limite buscado:
L=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{5}{3x}\right)^{-2x}.
Como a função \ln é contínua, posso tomar logaritmo e trocar limite:
\ln L=\lim_{x\to\infty}-2x\ln\!\left(1+\frac{5}{3x}\right).
Defino u=\dfrac{5}{3x}. Quando x\to\infty temos u\to0. Uso o limite conhecido
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1,
portanto
\ln L=\lim_{x\to\infty}-2x\cdot\frac{5}{3x}\cdot\frac{\ln\!\left(1+\frac{5}{3x}\right)}{\frac{5}{3x}} =-2\cdot\frac{5}{3}\cdot 1=-\frac{10}{3}.
Assim L=e^{\ln L}=e^{-10/3}, confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 6

Breve reforço didático e exemplos rápidos para a prova:
  • Regra prática: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{c}{x}\right)^{x}=e^{c}. Então se a potência for kx em vez de x, o limite é e^{ck}.
  • Exemplo: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}=e^{6}.
  • Na prova, se aparecer \left(1+\dfrac{\text{const}}{x}\right)^{\text{proporcional a }x}, tente reescrever para usar a identidade acima; se sobrar uma constante multiplicando x, ela aparece no expoente final.

Resposta

e^{-\tfrac{10}{3}}

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