Avalie os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu avalie o limite
Informações dadas:
- A variável que tende ao infinito é
. - A expressão é da forma
.
Passo 2
Vou explicar duas formas simples e seguras de calcular esse tipo de limite. Ambas usam a mesma ideia-chave: a expressão
tende para
quando
. Primeiro mostro uma manipulação algébrica direta que transforma a expressão em algo do tipo
. Depois mostro a técnica com logaritmo natural, que é útil quando quiser justificar com séries ou limites de razão.
Passo 3
Manipulação algébrica direta. Reescrevo a potência de modo a identificar a forma padrão:
Verificando os expoentes:
, então a igualdade é válida.
Passo 4
Agora faço a substituição
.; Quando
também temos
. Com essa substituição a base fica
portanto
É um fato clássico (definição/identidade do número
) que
Assim a expressão entre colchetes tende a
quando
. Elevando ao expoente
, obtemos
Passo 5
Método alternativo (logaritmo natural) — serve para justificar de forma analítica. Seja
o limite buscado:
Como a função
é contínua, posso tomar logaritmo e trocar limite:
Defino
. Quando
temos
. Uso o limite conhecido
portanto
Assim
, confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 6
Breve reforço didático e exemplos rápidos para a prova:
- Regra prática:
. Então se a potência for em vez de , o limite é . - Exemplo:
. - Na prova, se aparecer
, tente reescrever para usar a identidade acima; se sobrar uma constante multiplicando , ela aparece no expoente final.