Avalie os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações dadas:
- A expressão é
. - A variável
tende para pela direita ( ), portanto próximo de . - Para
suficientemente pequeno, (logo a expressão está bem definida e o logaritmo natural existe).
Passo 2
Escolha do método (e porquê). Uma estratégia eficiente para limites do tipo
é usar a transformação pelo logaritmo natural: se
e
existe finito, então
. Isso converte um problema de potência em um problema de limite de produto/razão, que costuma ser mais simples. Outra forma clássica (equivalente) usa a identidade padrão
. Vou mostrar o método direto e também usar a identidade clássica para fixar a intuição.
Passo 3
Transformação usando a identidade clássica (jeito curto e intuitivo).
Escreve-se a potência colocando o fator como múltiplo de
:
Escreve-se a potência colocando o fator
Conhece-se o limite padrão
Aqui
tende a
quando
. Portanto
Tomando potência
(função contínua), obtém-se
Passo 4
Transformação usando logaritmo (jeito que explica por que a identidade padrão vale).
Defina . Como
perto de
, considere
Defina
Calcule o limite da razão:
Faça a substituição
. Quando
,
, e
É um resultado básico (pode ser obtido por regra de L’Hôpital ou pela série de Taylor) que
Logo
Pela continuidade da exponencial, o limite original é
Passo 5
Resumo pedagógico e dica rápida para a prova: quando aparecer
com
, reescreva como
ou tome logaritmo. Use
ou
. Isso resolve a maioria desses limites de forma rápida.