Avalie os limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1+4 x)^{\frac{1}{7 x}}.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x\to 0^{+}}(1+4x)^{\frac{1}{7x}}.
Informações dadas:
  • A expressão é (1+4x)^{1/(7x)}.
  • A variável x tende para 0 pela direita ( x\to 0^{+}), portanto x>0 próximo de 0.
  • Para x>0 suficientemente pequeno, 1+4x>0 (logo a expressão está bem definida e o logaritmo natural existe).

Passo 2

Escolha do método (e porquê). Uma estratégia eficiente para limites do tipo (1+\text{pequena})^{\text{grande}} é usar a transformação pelo logaritmo natural: se f(x)>0 e \lim_{x\to a}\ln f(x)=L existe finito, então \lim_{x\to a}f(x)=\mathrm{e}^{L}. Isso converte um problema de potência em um problema de limite de produto/razão, que costuma ser mais simples. Outra forma clássica (equivalente) usa a identidade padrão \lim_{u\to 0}(1+u)^{1/u}=\mathrm{e}. Vou mostrar o método direto e também usar a identidade clássica para fixar a intuição.

Passo 3

Transformação usando a identidade clássica (jeito curto e intuitivo).
Escreve-se a potência colocando o fator 1/(7x) como múltiplo de 1/(4x):
(1+4x)^{\frac{1}{7x}} = \bigl((1+4x)^{\frac{1}{4x}}\bigr)^{\frac{4}{7}}.
Conhece-se o limite padrão
\lim_{u\to 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=\mathrm{e}.
Aqui u=4x tende a 0 quando x\to 0. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}}(1+4x)^{\frac{1}{4x}}=\mathrm{e}.
Tomando potência \tfrac{4}{7} (função contínua), obtém-se
\lim_{x\to 0^{+}}(1+4x)^{\frac{1}{7x}} = \bigl(\lim_{x\to 0^{+}}(1+4x)^{\frac{1}{4x}}\bigr)^{\frac{4}{7}} = \mathrm{e}^{\frac{4}{7}}.

Passo 4

Transformação usando logaritmo (jeito que explica por que a identidade padrão vale).
Defina f(x)=(1+4x)^{\frac{1}{7x}}. Como f(x)>0 perto de 0^{+}, considere
\ln f(x)=\frac{1}{7x}\ln(1+4x).
Calcule o limite da razão:
\lim_{x\to 0^{+}}\ln f(x) = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+4x)}{7x} = \frac{1}{7}\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+4x)}{x}.
Faça a substituição u=4x. Quando x\to 0, u\to 0, e
\frac{\ln(1+4x)}{x}=\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot 4.
É um resultado básico (pode ser obtido por regra de L’Hôpital ou pela série de Taylor) que
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Logo
\lim_{x\to 0^{+}}\ln f(x)=\frac{1}{7}\cdot 4\cdot 1=\frac{4}{7}.
Pela continuidade da exponencial, o limite original é
\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\mathrm{e}^{\frac{4}{7}}.

Passo 5

Resumo pedagógico e dica rápida para a prova: quando aparecer (1+ax)^{b/x} com x\to 0, reescreva como \bigl((1+ax)^{1/(ax)}\bigr)^{ab} ou tome logaritmo. Use \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=\mathrm{e} ou \lim_{t\to 0}\ln(1+t)/t=1. Isso resolve a maioria desses limites de forma rápida.

Resposta

\mathrm{e}^{\frac{4}{7}}

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