Considere a função: f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{5 x^{6}+\left(x^{7}+2 x^{6}+x^{5}\right) \operatorname{cossec} x}}{x} \text { , se } x<0 \\\ x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right), \text { se } 0<x<2 \\\ \ln (x-2), \text { se } x>2 \\\\ 0, \text { se } x=0 \text { ou } x=2\end{array}\right.
f é contínua em 0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{5 x^{6}+\bigl(x^{7}+2 x^{6}+x^{5}\bigr)\csc x}}{x}, & \text{se } x<0,\\[6pt] x^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr), & \text{se } 0<x<2,\\[6pt] \ln(x-2), & \text{se } x>2,\\[6pt] 0, & \text{se } x=0 \text{ ou } x=2. \end{cases}
A pergunta é: f é contínua em 0? Preciso justificar.
Informações relevantes:
  • O valor da função em 0 é f(0)=0 (pegado do enunciado).
  • Para mostrar continuidade em 0 preciso verificar se \lim_{x\to0}f(x) existe e é igual a f(0)=0. Como a função é definida por partes, devo verificar os limites laterais \lim_{x\to0^-}f(x) e \lim_{x\to0^+}f(x) e confirmar que ambos são iguais a 0.]

Passo 2

Lembrando a definição prática que vou usar: uma função f é contínua em 0 se, e somente se,
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0).
Aqui f(0)=0. Vou calcular os dois limites laterais e comparar com 0.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to0^+}f(x).
Para 0<x<2 temos f(x)=x^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr). Como \bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\bigr|\le 1 para todo x\neq0, vale a desigualdade
\bigl|x^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\bigr|\le x^{2}.
Sabendo que \lim_{x\to0^+}x^{2}=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
\lim_{x\to0^+}x^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=0.
Portanto o limite pela direita é 0, que coincide com f(0).

Passo 4

Preparação para o limite pela esquerda \lim_{x\to0^-}f(x).
Para x<0 escrevo a parte complicada de modo mais manejável. Repare que
x^{7}+2x^{6}+x^{5}=x^{5}\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)=x^{5}(x+1)^{2}.
Logo o radicando pode ser reescrito como
5x^{6}+\bigl(x^{7}+2x^{6}+x^{5}\bigr)\csc x = x^{5}\bigl(5x+(x+1)^{2}\csc x\bigr).
Assim, para x<0 com x\neq0,
f(x)=\frac{\sqrt{x^{5}\bigl(5x+(x+1)^{2}\csc x\bigr)}}{x}.

Passo 5

Análise assintótica de \csc x perto de 0 (uma versão básica da expansão de Taylor, explicada de forma simples).
Sabemos que \sin x = x - \tfrac{x^{3}}{6}+o(x^{3}) quando x\to0. Invertendo essa relação (dividindo por \sin x) obtemos a expansão
\csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + o(x),
ou, de forma mais simples para usar em estimativas, podemos escrever
\csc x = \frac{1}{x} + r(x),
onde r(x) é uma função tal que r(x)=O(x) quando x\to0 (isto é, r(x) tende a 0 e é do mesmo tamanho ou menor que uma constante vezes x próximo de 0).
Essa informação é padrão e pode ser entendida como: para x pequeno, \csc x comporta-se como \tfrac{1}{x} mais um resto que é pequeno (da ordem de x).

Passo 6

Substituição dessa expressão em f(x) para x<0 e simplificação.
Usando \csc x=\dfrac{1}{x}+r(x) com r(x)=O(x), o termo entre parênteses fica
5x+(x+1)^{2}\csc x = 5x + (x+1)^{2}\!\left(\frac{1}{x}+r(x)\right).
Calculando (x+1)^{2}\cdot\frac{1}{x} explicitamente:
(x+1)^{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1+2x+x^{2}}{x}=\frac{1}{x}+2+x.
Portanto
5x+(x+1)^{2}\csc x = \frac{1}{x}+2+x+5x + (x+1)^{2}r(x).
Reagrupar termos dá
5x+(x+1)^{2}\csc x = \frac{1}{x} + 2 + 6x + (x+1)^{2}r(x).
Multiplicando por x^{5} (lembrar que o radicando é x^{5} vezes isso) obtemos
5x^{6}+\bigl(x^{7}+2x^{6}+x^{5}\bigr)\csc x = x^{5}\Bigl(\frac{1}{x} + 2 + 6x + (x+1)^{2}r(x)\Bigr).
Isto é
= x^{4} + 2x^{5} + 6x^{6} + x^{5}(x+1)^{2}r(x).

Passo 7

Concluir o comportamento do numerador e do quociente.
Da expressão acima vemos que o radicando tem a forma
x^{4}\bigl(1 + 2x + 6x^{2} + x\,(x+1)^{2}r(x)\bigr).
Como r(x)=O(x), o fator dentro do parêntese tende a 1 quando x\to0. Portanto, para x próximo de 0 (positivamente ou negativamente), o radicando é positivo e podemos escrever
\sqrt{5x^{6}+\bigl(x^{7}+2x^{6}+x^{5}\bigr)\csc x} = |x^{2}|\sqrt{1 + 2x + 6x^{2} + x\,(x+1)^{2}r(x)}.
Como x^{2}\ge0, temos |x^{2}|=x^{2}. Assim, para x<0 (próximo de 0),
\sqrt{5x^{6}+\bigl(x^{7}+2x^{6}+x^{5}\bigr)\csc x} = x^{2}\bigl(1+o(1)\bigr),
onde o(1) indica um termo que tende a 0 quando x\to0.
Dividindo por x (lembrando que estamos com x<0) obtemos
f(x)=\frac{\sqrt{5x^{6}+\bigl(x^{7}+2x^{6}+x^{5}\bigr)\csc x}}{x} = \frac{x^{2}\bigl(1+o(1)\bigr)}{x} = x\bigl(1+o(1)\bigr).
Isto mostra que
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}x\bigl(1+o(1)\bigr)=0.

Passo 8

Conclusão final sobre continuidade em 0.
Encontramos
\lim_{x\to0^-}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=0,
e f(0)=0. Logo \lim_{x\to0}f(x)=0=f(0), isto é, f é contínua em 0.
Força aí — deu trabalho, mas a ideia central foi: pela direita é trivial (squeeze), pela esquerda fatorar potência de x e usar a aproximação \csc x\approx 1/x para ver que o numerador é essencialmente x^{2}, então o quociente tende a 0.

Resposta

Sim

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