Avalie a seguinte integral:
.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Aparece a distribuição de Dirac
. - Os limites de integração são de
até . - O ponto
está dentro do intervalo de integração .
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?
Passo 2
Explicando a propriedade fundamental da delta de Dirac (a ideia que você precisa usar na prova).
A delta de Dirac é uma “função” generalizada (distribuição) com duas propriedades essenciais:
e, para qualquer função contínua
,
Essa última é chamada propriedade de amostragem ou “sifting property”: ao integrar
contra
obtém-se simplesmente o valor de
em
.
Observações importantes e didáticas:
- A identidade acima exige que
seja contínua em (para a prova típica da graduação isso basta). - Se a integração não for sobre toda a reta, mas o ponto
estiver dentro dos limites, a mesma propriedade vale:
- Se
estiver fora do intervalo , então a integral vale .
Uma intuição: a
“pega” só o valor da função no ponto onde ela é concentrada; fora desse ponto contribuições são nulas.
Passo 3
Aplicando isso ao caso concreto: aqui
e
.
Primeiro verifique continuidade de
em
:
é polinomial, logo contínua em todo lugar, incluindo
. Portanto podemos aplicar a propriedade de amostragem.
Calcule
:
Passo 4
Como
, pela propriedade de amostragem temos
Passo 5
Resumo prático para a prova (dica amistosa): quando vir integrais do tipo
, primeiro verifique se
está entre
e
. Se estiver, responda
; caso contrário, responda
. Isso economiza tempo e evita contas desnecessárias.