Avalie a seguinte integral: \int_{-1}^{1}\left(3 t^{2}+1\right) \delta(t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
\int_{-1}^{1}\left(3 t^{2}+1\right)\delta(t)\,dt.
Informações dadas:
  • A função integranda é f(t)=3 t^{2}+1.
  • Aparece a distribuição de Dirac \delta(t).
  • Os limites de integração são de -1 até 1.
  • O ponto t=0 está dentro do intervalo de integração [-1,1].
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Explicando a propriedade fundamental da delta de Dirac (a ideia que você precisa usar na prova).
A delta de Dirac é uma “função” generalizada (distribuição) com duas propriedades essenciais:
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt = 1
e, para qualquer função contínua g(t),
\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,\delta(t-a)\,dt = g(a).
Essa última é chamada propriedade de amostragem ou “sifting property”: ao integrar g contra \delta(t-a) obtém-se simplesmente o valor de g em t=a.
Observações importantes e didáticas:
  • A identidade acima exige que g seja contínua em t=a (para a prova típica da graduação isso basta).
  • Se a integração não for sobre toda a reta, mas o ponto a estiver dentro dos limites, a mesma propriedade vale:
\int_{A}^{B} g(t)\,\delta(t-a)\,dt = g(a)\quad\text{se }a\in[A,B].
  • Se a estiver fora do intervalo [A,B], então a integral vale 0.
Uma intuição: a \delta “pega” só o valor da função no ponto onde ela é concentrada; fora desse ponto contribuições são nulas.

Passo 3

Aplicando isso ao caso concreto: aqui a=0 e g(t)=3 t^{2}+1.
Primeiro verifique continuidade de g em t=0: g é polinomial, logo contínua em todo lugar, incluindo t=0. Portanto podemos aplicar a propriedade de amostragem.
Calcule g(0):
g(0)=3\cdot 0^{2}+1=1.

Passo 4

Como 0\in[-1,1], pela propriedade de amostragem temos
\int_{-1}^{1}\left(3 t^{2}+1\right)\delta(t)\,dt = \left(3\cdot 0^{2}+1\right)=1.

Passo 5

Resumo prático para a prova (dica amistosa): quando vir integrais do tipo \int_{a}^{b} f(t)\,\delta(t-c)\,dt, primeiro verifique se c está entre a e b. Se estiver, responda f\text{(c)}; caso contrário, responda 0. Isso economiza tempo e evita contas desnecessárias.

Resposta

1

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